Задача 11587 ...

SOVA

16 ноября 2016 г.

Найти число корней уравнения cos4x–3cos((3π/2)–2x)+2sin²3x+2cos²3x=0, принадлежащих отрезку [–π/2;π]

По формулам приведения
cos((3π/2)–2x)=–sin2x.
Основное тригонометрическое тождество
sin²3x+cos²3x=1
cos4x=1–2sin²2x.
Уравнение принимает вид:
2sin²2x–3sin2x–3=0.
Квадратное уравнение относительно sin2x.
Замена переменной
sin2x=t
2t²–3t–3=0
D=9+24=33
t=(3–√33)/4 или t=(3+√33)/4
Так как |sin2x| ≤ 1, остается решить только одно уравнение
sin2x=(3–√33)/4
Решаем графически.
Строим график у=sin2x и график у=(3–√33)/4
Cм. рисунок.
О т в е т. 4 корня на отрезке [–π/2;π]

Ответ: О т в е т. 4 корня на отрезке [-π/2;π]