Задача 11486 На доске написано 5 целых чисел. Сложив...

vk239083965

12.11.2016

На доске написано 5 целых чисел. Сложив их попарно, получили следующий набор из 10 чисел: -1, 4, 6, 9, 10, 11, 15, 16, 20, 22. Выясните, какие числа написаны на доске. В ответ напишите их произведение

vk263992005

12.11.2016

★

Обозначим числа за a,b,c,d,e и будем считать, что a≤b≤c≤d≤e. Заметим сразу, что все числа различны, так как если бы хотя бы два числа (например, a и b) были равны, то среди 10 чисел из набора было бы не менее 3 пар равных (a+c=b+c, a+d=b+d, a+e=b+e), а в нашем случае это не так. Поэтому мы можем считать, что a < b < c < d < e.

Сумма 10 чисел из набора равна (3+8+9)+(16+17+17)+(18+22)+(23+31)=20+50+40+54=164. Нетрудно видеть, что каждое из 5 чисел входит в эту сумму по 4 раза (например, число a входит в виде сумм a+b, a+c, a+d, a+e). Тогда сумма искомых 5 чисел равна 164/4=41.

Таким образом, a+b+c+d+e=41. По условию, a+b=3, d+e=31. Тогда c=41-(a+b)-(d+e)=41-31-3=7. Поскольку числа попарно неравны, мы можем утверждать, что a+c=8, откуда a=1, тогда b=2. Мы можем утверждать, что a+d=16, поскольку 16 – наименьшая из сумм, содержащая одно из чисел d,e. Тогда d=15. Следовательно, e=31-15=16.

Таким образом, искомые числа равны 1,2,7,15,16, а их произведение равно 2*7*15*16=14*15*16=3360.