Задача 11035 В правильной треугольной призме...

Julia_Trusova

30.10.2016

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все рёбра равны 1.

а) Докажите, что прямая АВ1 параллельна прямой, проходящей через середины отрезков АС и ВС1.
б)Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1.

А) О – середина АС, Е – серединаВС1
Так как все ребра правильной призмы равны 1, то боковые грани являются квадратами, то есть Е – точка пересечения диагоналей квадрата и СЕ=ЕВ1.
Тогда ОЕ – средняя линия треугольника В1СА, = > ОЕ||АВ1.

Б) Пусть О – середина АВ, Д – середина ВВ1.
Проведем прямую параллельную прямой АВ1 через точку О в треугольнике АВВ1, ОД||АВ1, = > ОД-средняя линия треугольника АВВ1. ОД=1/2АВ1
АВ1=ВС1=sqrt(1+1)=sqrt(2) (по теореме Пифагора)
ОД= sqrt(2)/2
Проведем прямую параллельную прямой ВС1 через точку Д в треугольнике ВВ1С1, ДК||ВС1, ДК – средняя линия треугольника ВВ1С1. ДК=1/2ВС1= sqrt(2)/2.
Значит, угол ОДК – искомый угол между скрещивающимися прямыми АВ1 и ВС1.
ОР||АА1, ОР перпендикулярен основаниям, = > ОР⊥РК, тогда треугольник ОРК - прямоугольный.
РК=1/2А1С1=1/2, OP=AA1=1
По теореме Пифагора, получаем: ОК=sqrt(1+1|4)=sqrt(5)/2
По теореме косинусов из треугольника ОДК:
ОД^2+КД^2-2ОД*КД*cosОДК=ОК^2
1/2+1/2-2* sqrt(2)/2* sqrt(2)/2 *cosОДК=5/4
1- cosОДК=5/4
cosОДК=-1/4
Так как косинус получился отрицательный, то мы нашли тупой угол. Значит надо найти cos острого угла между прямыми.
Он равен cos(180-α)=-cosα=1/4.


Ответ: б)1/4