Задача 11034 В правильной треугольной пирамиде SABC с...

Julia_Trusova

30.10.2016

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка М – середина ребра АВ, точка О – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью АВС.

А) Точка О принадлежит отрезку СМ, значит точка F, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SMC и пересекает SС в точке К.
Треугольник SМС равнобедренный, поскольку отрезки SМ и СМ – медианы одинаковых равносторонних треугольников SАВ и САВ. Поэтому SМ=СМ. В точке О пересекаются медианы основания, значит, ОМ=1/3 СМ=1/3SМ.
Опустим перпендикуляр из точки F на сторону SМ. Пусть он пересекает SМ в точке N. Треугольники SFN и SMO подобны(по двум углам), поэтому SF/FN=SM/MO=3.
Значит, FN=1/3 SF= FО. Следовательно, треугольники MNF и MOF равны и MF – биссектриса угла SMC. В равнобедренном треугольнике биссектриса является и медианой, и высотой, поэтому прямая MF перпендикулярна прямой SC.
Б) Так как SO – высота, то она равноудалена от вершин основания, т.е. FA=FB, то есть в треугольнике АFB: FМ является и медианой, и высотой. СМ так же является высотой в основании пирамиды, То есть угол FМО – линейный угол двугранного угла между плоскостью MBF и плоскостью АВС, то есть искомый угол.
По теореме Пифагора из треугольника МВС: МС=sqrt(4-1)=sqrt(3)
= > MO=1/3MC=1/3 sqrt(3)= sqrt(3)/3
MO=CM= sqrt(3)/3
По теореме Пифагора из треугольника SOM: SO=sqrt(3-1/3)=2sqrt(6)/3
FO=1/4SO=1/4*2sqrt(6)/3=sqrt(6)/6
tgFMO=FO/MO= sqrt(6)/6 : sqrt(3)/3= sqrt(2)/2
угол FМО=arctg (sqrt(2)/2)


Ответ: б)arctg (sqrt(2)/2)