Задача 10438 Упростить (2x^4-3x^2y^3+y^6)/(4x^4-8x^2y^3+3y^3)...

SOVA

10 сентября 2016 г. в 00:00

Упростить
(2x⁴–3x²y³+y⁶)/(4x⁴–8x²y³+3y³)

Разложим числитель и знаменатель на множители.
Многочлен
2x⁴–3x²y³+y⁶
можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно любого входящего в него переменного.
2(х²)²–(3y³)x²+y⁶
Это квадратный трехчлен вида
at²+bt+c,где
a=2; b=–(3y³); c=y⁶.
t=x²; t²=(x²)².
Из теоремы Виета известно разложение квадратного трехчлена на множители
at²+bt+c=a(t–t₁)(t–t₂)

Разложим 2(х²)²–(3y³)x²+y⁶ на множители.
D=(–3y³)²–4•2•y⁶=9y⁶–8y⁶=y⁶=(y³)².
Корни
x²=(3y³–y³)/4=y³/2 или х²=(3y³+y³)/4=y³.
2(х²)²–(3y³)x²+y⁶ =2•(x²–(y³/2))•(x²–y³)=(2x²–y³)•(x²–y³).

Аналогично.
4x⁴–8x²y³+3y³=4•(x²–(y³/2))•(x²–(3y³/2))=(2x²–y³)•(2x²–3y³).
D=(–8y³)²–4•4•3y³=64y⁶–48y⁶=16y³=(4y³)².
Корни:
x²=(8y³–4y³)/8=y³/2; x²=(8y³+4y³)/8=3y³/2.
О т в е т.
(2x⁴–3x²y³+y⁶)/(4x⁴–8x²y³+3y³) =(2x²–y³)•(x²–y³)/(2x²–y³)•(2x²–3y³)=(х²–y³)/(2x²–3y³).


Ответ: О т в е т. (2x^4-3x^2y^3+y^6)/(4x^4-8x^2y^3+3y^3) =(2x^2-y^3)•(x^2-y^3)/(2x^2-y^3)•(2x^2-3y^3)=(х^2-y^3)/(2x^2-3y^3).