✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 1037 По кругу в некотором порядке по одному

УСЛОВИЕ:

По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.
а) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?
в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?

РЕШЕНИЕ:

а) Да, могло. Например, если числа записаны в порядке 9, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 18, 17, 10.
б) Всего по кругу записано 10 чисел. Для каждой пары соседних чисел мы ищем наибольший общий делитель, следовательно, получим 10 наибольших общих делителей. Если они все попарно различны, то хотя бы один из них не меньше 10. Но такого быть не может, так как для данных чисел наибольший из всевозможных наибольших общих делителей есть НОД(18,9) = 9.
в) Числа 11, 13 и 17 являются простыми, наибольшие общие делители этих чисел со всеми остальными числами равняются 1. Каждое из чисел имеет двух соседей, следовательно, хотя бы два числа из этих трёх будут иметь по крайней мере одного соседа, отличного от этих трёх чисел. Таким образом, хотя бы четыре из всех наибольших общих делителей будут равняться 1, то есть совпадать. Следовательно, не может быть больше, чем семь попарно различных наибольших общих делителей, поскольку всего их десять, причём четыре совпадают. Для расстановки 9, 18, 12, 16, 14, 13, 11, 17, 10, 15 получается ровно 7 попарно различных наибольших общих делителей.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

а) Да; б) нет; в) семь.

Добавил slava191, просмотры: ☺ 3157 ⌚ 26.04.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
sgrt(8-7x)=-x
Решение:
ОДЗ: -x ≥ 0, x ∈ (- ∞ ;0 )
sgrt(8-7x)+ x=0. Воспользуемся тем , что сумма двух убывающих
функций есть функция убывающая на их общей области определения. поэтому данное уравнение не может иметь более одного корня.
Поэтому подбором находим корень уравнения x=-8
Проверка : sgrt(8+ 56)=8-верно.
Ответ:-8.
✎ к задаче 37959
x²–4xy+4y²–4x+8y+7=(x²–4xy+4y²)-(4х-8у)+7=
=(x-2y)²-4(x-2y)+7=4²-4*4+7=16-16+7=7
✎ к задаче 44413
AP ⊥ пл β
ВТ ⊥ пл β

AP||BT

AK ⊥ [i]l[/i]
BM ⊥ [i]l[/i]

Δ АРК ∼ ΔВТМ ( по двум углам)
∠ АКР= ∠ВМТ
∠ АРК= ∠ ВТМ=90 °

Из подобия треугольников

8:14=x:42

x=24
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 44411
BC ⊥ AC ⇒ DC ⊥ AC по теореме о 3-х перпендикулярах

∠ BCD - линейный угол двугранного угла

cos ∠ BCD=BC/DC=6/12=1/2

∠ BCD=60 °
✎ к задаче 44410
Пусть было х

Первый взял (1/13)*x осталось (12/13)*x

Второй взял (1/17) от (12/13)*x

(1/17) *(12/13)*x

Осталось:

(12/13)*x - (1/17) *(12/13)*x= (12/13)*(1-(1/17))*x=(12/13)*(16/17)*x

Это равно 150

(12/13)*(16/17)*x=150

(192/221)x=150

x=150:(192/221)

x=150*(221/192)

x=5525/32
✎ к задаче 44409