Методы преобразования эпюра

Перебросим логический мостик от пункта 1 к пункту 2. Посмотрите на эпюры отрезков разного положения /рис.18г,ж,и,к,м/. Подумайте, есть ли среди проекций отрезков АВ такие, которые имеют натуральную длину его самого? Вспомним, что отрезок, параллельный плоскости проекций, проецируется на нее без искажений. Так и было в случаях г(A1B1=AB) и ж(А2В2=АВ). Но если отрезок перпендикулярен одной из плоскостей проекций, то другой он параллелен, поэтому в натуральную величину отрезок представлен в случаях и(А2В2=АВ) и k(A1B1=AB). И лишь у отрезка общего положения, наклоненного к обеим плоскостям, каждая проекция короче него самого, а потому на эпюре м натуральной величины отрезка АВ нет. Но ведь это общий, а не частный случай и встречается в практике начертательной геометрии чаще них. Между тем, при решении метрических задач, в которых предусматривается оперирование метрически определенными элементами или их получение, часто требуется найти натуральную величину отрезка по его проекциям. Вот почему задача, к рассмотрению которой мы переходим, является одной из ключевых в предлагаемом курсе.



Задача. Найти натуральную величину (НВ) отрезка АВ по его проекциям /рис. 19а/.

Метод вращения

Рассмотрим решение, в котором заданный эпюр используется без предварительных преобразований, т.е. необходимые для решения построения выполняются непосредственно на заданном графическом условии. В данном случае суть этих построений состоит в следующем. Проведем АС || A1B1 /рис.19в/. Треугольник ABC - прямоугольный, т.к. АС || П1, ВС перпендикулярно П1. Найти на эпюре НВ АВ - значит построить гипотенузу АВ треугольника ABC, что легко сделать по двум его катетам. Тогда AC=A1B1 как противоположные стороны прямоугольника ACB1A1, поэтому один из катетов на эпюре уже имеется - это А1В1. Найдя фронтальную проекцию С, соединим С2 и А2. В2С2=ВС, значит В2С2 и есть второй катет. Теперь на эпюре /рис.19г/ проведем А2С2 параллельно П1 и получим В2С2. В заключение проводим через В1 луч, перпендикулярный А|В|, и откладываем на нем В2С2. Соединив точку С0 с А1, получаем А1С0, - искомую натуральную величину отрезка АВ.




Вернемся к первоначальному графическому условию /рис.20а,б/ и постараемся решить ту же задачу другим путем. Передвинем ABB1A1 /рис.20в/, не отрывая эту трапецию от П1 так, чтобы после поворота она стала параллельной П2. Теперь отрезок А'В' также параллелен П2, а значит - проецируется на эту плоскость в натуральную величину. Повторим проделанные действия на эпюре /рис.20г/. Поскольку после поворота АВ в положении, параллельное П2, его проекция A1B1 должна расположиться горизонтально, начертим А1'В1', в этом положении. Заметим, что A1'B1' можно расположить правее или левее, выше или ниже выбранного положения, т.к. в любом из этих случаев сам отрезок остается параллельным П2. Восставим линии связи из A1'B1'. Трапеция ABB1A1 передвигалась без отрыва от П1 (такое перемещение в начертательной геометрии называют плоско-параллельным), поэтому в итоге высота точек А' и В' над плоскостью П1 не изменилась. По этой причине линии, соединяющие на рис.20в точки А2 и A2', а также В2 и В2', - есть линии горизонтальные. То же происходит и на эпюре, а значит, для нахождения точек А2'В2' через А2 и В2 достаточно провести горизонтальные линии связи до их пересечения с соответствующими вертикальными линиями связи. А2'В2' - есть искомая натуральная величина отрезка АВ. В рассмотренном случае она получена методом вращения за счет того, что отрезок общего положения АВ был повернут параллельно одной из плоскостей проекций. Итак, сущность метода вращения состоит в том, что при неизменном положении плоскостей проекций изображаемый объект поворачивается в положение, удобное для решения задачи.



Метод замены плоскостей проеций

Вы заметили, что отрезок спроецируется на плоскость в натуральную величину, если он ей параллелен. Однако этого можно достичь не только соответствующим поворотом отрезка, но и подбором новой плоскости, параллельной ему. Эта операция называется заменой плоскостей проекций. Перед нами то же первоначальное фактическое условие задачи /рис.21а/. Для начала представим себе, как изобразить на рисунке плоскость, параллельную АВ /рис.216/. Ее можно расположить за отрезком АВ или перед ним. В последнем случае для построений больше свободного места. Теперь представьте, есть ли на рисунке ориентир, помогающий выбрать правильный поворот плоскости. Да, им является A1B1. Новая плоскость проекций, параллельная АВ и перпендикулярная П1 показана на рис.21 в. Будем считать, что она прозрачна, а потому за ней видны отрезок АВ и его проекции. Назовем построенную плоскость П4, т.к. индекс 3 закреплен за профильной плоскостью проекций, которая иногда используется при решении задач. А сейчас нам нужно спроецировать АВ на П4 перпендикулярно к ней. Направление, которое можно считать таким, представить довольно трудно, поэтому выберем его произвольно с единственным условием: оно не должно совпадать с направлением самого отрезка АВ. Известным нам способом /рис. 18/ спроецируем АВ на П4 /рис.21в/. Повторим те же построения на эпюре /рис.21 г/. Проведем ось U (она является горизонтальной проекцией П4) параллельно А1В1 и направим линии связи из точек А1 и B1 под прямым углом к U. Формально AUBU является проекцией АВ на П4, однако никак не может быть его натуральной величиной, пока П4, не будет повернута вокруг оси U совмещена с П1. То, что при этом произойдет, показано на рис.21 д. Представим, как должна изобразиться П4 на рисунке после ее поворота вокруг оси U до совмещения с П1. Легко представить, что после поворота все линии, которые были до этого вертикальными, станут параллельны направлению проецирования, осуществлявшемуся из точек А и В на П4. Таким образом, А4Аu станет продолжением A1Au, а В4Вu- продолжением В1Вu. Поскольку высота точек А и В над П1 при введении новой плоскости П4 осталась неизменной, эти величины соответственно равны А2АХ и В2ВХ. Однако заданный нам эпюр отрезка - безосный, поэтому для получения этих величин необходимо ввести ось X /рис.21 е/. Ее можно расположить на любой высоте, т.к. это не изменит конечного результата и не скажется на искомой НВ отрезка. Теперь от точек Аи и Вu отметим соответственно А2АХ и В2ВХ. А4В4 - есть искомая натуральная величина отрезка АВ. Запомним, что при решении задач с использованием метода замены плоскостей проекций желательно использовать осевой эпюр, т.к. меняя плоскость проекций П2 на П4, мы меняем систему П2/П1 на П1/П4. Эти обозначения должны присутствовать на эпюре. В заключение отметим: сущность метода замены плоскостей проекций состоит в том, что при неизменном положении изображаемого объекта подбирается новая плоскость, на которую объект проецируется в удобном для решения задачи виде.



Оба рассмотренных нами метода (вращения и замены плоскостей проекций) являются методами преобразования эпюра и преследуют одну и ту же цель - преобразовать исходные графические данные, чтобы упростить решение задачи.

slava191
804

Написать комментарий

Читайте также:

Прямая. Положение отрезка в системе плоскостей проекций.

Прямая определяется двумя своими точками. В свою очередь, точка, как мы видели,

Проецирование точки на две плоскости проекций

Представим, что фигура, изображенная на рис. 15, является проекцией конкретного объекта. Можно ли на
Не можешь решить?
ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ
Мы ВКонтакте

б (+ б)
добавлено решений
лучших решений
добавлено задач