• Дифференцирование неявных функций


• Дифференцирование функций заданных параметрически


• Логарифмическое дифференцирование


• Приложения производной

Дифференцирование неявных функций.

Пусть значения переменных x и y связаны между собой некоторым уравнением, которое, если все его члены перенести в левую часть, может быть записано в виде F(x,y) = 0, где F(x,y)- некоторая функция двух переменных. Если для каждого значения х, принадлежащего некоторому множеству X, существует одно значение у, принадлежащее некоторому множеству Y, такое, что F(x,y) = 0, то этим определяется некоторая функция у = у(х). Такая функция называется неявной функцией, заданной уравнением F(x, y) = 0. Тогда F(x, y) = 0 (∀x∈X) => F'_x(x, y(x)) = 0.

Дифференцирование функций заданных параметрически.

Если функция у = f(x) задана в виде: system{x = φ(t); y = ψ(t)} причем функция ψ(t) имеет обратную функцию t = Ф(х), то у = ψ(Ф(х)) и имеет место формула



Полученная формула дает возможность находить производную функции, заданной параметрически, без определения непосредственной зависимости у от х.

Логарифмическое дифференцирование.

Иногда полезно использовать так называемую формулу логарифмического дифференцирования. Пусть f(х) > 0 на некотором множестве значений аргумента и дифференцируема на этом множестве. Тогда по формуле производной сложной функции имеем (ln f(x))' = f'(x) / f(x), откуда

Приложения производной

Уравнение касательной к графику y=f(x) функции при x=x0



Уравнение нормали к графику y=f(x) функции при x=x0



Углом между двумя кривыми y=f1(x) и y=f2(x) их пересечения M0(x0, y0), называется угол между касательными к этим кривым в точке M0(x0, y0). Этот угол находится по формуле: