• Скалярное произведение векторов


• Векторное произведение векторов


• Смешанное произведение трех векторов

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов a, b обозначается символом ab (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ab=ba).

Если угол между векторами a, b обозначить через φ, то их скалярное произведение можно выразить формулой



Скалярное произведение векторов a, b можно выразить также формулой



Из формулы (1) следует, что ab > 0, если φ – острый угол, ab < 0 , если φ – тупой угол; ab=0 в том и только в том случае, когда векторы a и b перпендикулярны (в частности, ab=0, если a=0 или b=0).

Скалярное произведение aa называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом a². Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:



Если векторы a и b заданы своими координатами:



то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле



Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов



Угол φ между векторами



дается формулой cosφ = ab / |a||b|, или в координатах



Проекция произвольного вектора S = {X;Y;Z} на какую-нибудь ось u определяется формулой



где e – единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы α, β, γ, которые оси u составляет с координатными осями, то e = {cosα; cosβ; cosγ} и для вычисления вектора S может служить формула

Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [ab] и определяемый следующими тремя условиями:

1) Модуль вектора [ab] равен |a||b|sinφ, где φ – угол между векторами a и b ;

2) Вектор [ab] перпендикулярен к каждому из вектора a и b ;

3) Направление вектора [ab] соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы a, b и [ab] приведены к общему началу, то вектор [ab] должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору a), а указательный – по второму (то есть по вектору b).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:



Модуль векторного произведения [ab] равен площади S параллелограмма, построенного на векторах a и b:



Само векторное произведение может быть выражено формулой



где e – орт векторного произведения.

Векторное произведение [ab] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы a и b коллинеарны. В частности, [aa] = 0.

Если система координатных осей правая и векторы a и b заданы в этой системе своими координатами:



то векторное произведение вектора a на вектор b определяется формулой



или

Смешанное произведение трех векторов

Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись a, b, c означает, что вектор a считается первым, b – вторым, c – третьим.

Тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы a, b, c расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.

Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное векторному произведению [ab], умноженному скалярно на вектор c, то есть [ab]c.

Имеет место тождество [ab]c = a[bc], ввиду чего для обозначения смешанного произведения [ab]c употребляется более простой символ abc. Таким образом,



Смешанное произведение abc равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c взятого со знаком плюс, если тройка abc правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы a, b, c компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение abc равно нулю; иначе говоря, равенство



есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов a, b, c.

Если векторы a, b, c заданы своими координатами:



то смешанное произведение abc определяется формулой