✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Векторная алгебра Часть II



Скалярное произведение векторов



Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов vector{a}, vector{b} обозначается символом vector{a}vector{b} (порядок записи сомножителей безразличен, то есть vector{a}vector{b}=vector{b}vector{a}).

Если угол между векторами vector{a}, vector{b} обозначить через phi, то их скалярное произведение можно выразить формулой


vector{a}vector{b} = |vector{a}||vector{b}|cosphi (1)


Скалярное произведение векторов vector{a}, vector{b} можно выразить также формулой

vector{a}vector{b} = |vector{a}|прavector{b} или vector{a}vector{b} = |vector{b}|прbvector{a}


Из формулы (1) следует, что vector{a}vector{b} > 0, если phi - острый угол, vector{a}vector{b} < 0 , если phi - тупой угол; vector{a}vector{b}=0 в том и только в том случае, когда векторы vector{a} и vector{b} перпендикулярны (в частности, vector{a}vector{b}=0, если vector{a}=0 или vector{b}=0).

Скалярное произведение vector{a}vector{a} называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом vector{a}^2. Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:


vector{a}^2 = |vector{a}|^2


Если векторы vector{a} и vector{b} заданы своими координатами:

vector{a} = {X1; Y1; Z1}, vector{b} = {X2; Y2; Z2},


то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

vector{a}vector{b} = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.


Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0.


Угол phi между векторами

vector{a} = {X1; Y1; Z1}, vector{b} = {X2; Y2; Z2},


дается формулой cosphi = vector{a}vector{b} / |vector{a}||vector{b}|, или в координатах



Проекция произвольного вектора S = {X;Y;Z} на какую-нибудь ось u определяется формулой

прuvector{S} = vector{S}vector{e}


где vector{e} - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы альфа, бета, гамма, которые оси u составляет с координатными осями, то vector{e} = {cosальфа; cosбета; cosгамма} и для вычисления вектора vector{S} может служить формула

прuvector{S} = Xcosальфа + Ycosбета + Zcosгамма



ЗАДАЧА 3758 Вычислив внутренние углы треугольника с


Вычислив внутренние углы треугольника с вершинами A(1; 2; 1), B(3; -1; 7), C(7; 4; -2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный. Смотреть решение...



Векторное произведение векторов



Векторным произведением вектора vector{a} на вектор vector{b} называется вектор, обозначаемый символом [vector{a}vector{b}] и определяемый следующими тремя условиями:

1) Модуль вектора [vector{a}vector{b}] равен |vector{a}||vector{b}|sinphi, где phi - угол между векторами vector{a} и vector{b} ;

2) Вектор [vector{a}vector{b}] перпендикулярен к каждому из вектора vector{a} и vector{b} ;

3) Направление вектора [vector{a}vector{b}] соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы vector{a}, vector{b} и [vector{a}vector{b}] приведены к общему началу, то вектор [vector{a}vector{b}] должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору vector{a}), а указательный - по второму (то есть по вектору vector{b}).


Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

[vector{a}vector{b}] = - [vector{b}vector{a}].


Модуль векторного произведения [vector{a}vector{b}] равен площади S параллелограмма, построенного на векторах vector{a} и vector{b}:

|[vector{a}vector{b}]| = S


Само векторное произведение может быть выражено формулой

[vector{a}vector{b}] = Svector{e},


где vector{e} - орт векторного произведения.

Векторное произведение [vector{a}vector{b}] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы vector{a} и vector{b} коллинеарны. В частности, [vector{a}vector{a}] = 0.

Если система координатных осей правая и векторы vector{a} и vector{b} заданы в этой системе своими координатами:


vector{a} = {X1;Y1;Z1} , vector{b} = {X2;Y2;Z2}


то векторное произведение вектора vector{a} на вектор vector{b} определяется формулой



или





ЗАДАЧА 3759 Даны точки А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5;


Даны точки А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника АВС. Смотреть решение...



Смешанное произведение трех векторов



Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись vector{a}, vector{b}, vector{c} означает, что вектор vector{a} считается первым, vector{b} - вторым, vector{c} - третьим.

Тройка некомпланарных векторов vector{a}, vector{b}, vector{c} называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы vector{a}, vector{b}, vector{c} расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.

Смешанным произведением трех векторов vector{a}, vector{b}, vector{c} называется число, равное векторному произведению [vector{a}vector{b}], умноженному скалярно на вектор vector{c}, то есть [vector{a}vector{b}]vector{c}.

Имеет место тождество [vector{a}vector{b}]vector{c} = vector{a}[vector{b}vector{c}], ввиду чего для обозначения смешанного произведения [vector{a}vector{b}]vector{c} употребляется более простой символ vector{a}vector{b}vector{c}. Таким образом,


vector{a}vector{b}vector{c} = [vector{a}vector{b}]vector{c}.


Смешанное произведение vector{a}vector{b}vector{c} равно объему параллелепипеда, построенного на векторах vector{a}, vector{b}, vector{c} взятого со знаком плюс, если тройка vector{a}vector{b}vector{c} правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы vector{a}, vector{b}, vector{c} компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение vector{a}vector{b}vector{c} равно нулю; иначе говоря, равенство

vector{a}vector{b}vector{c} = 0


есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов vector{a}, vector{b}, vector{c}.

Если векторы vector{a}, vector{b}, vector{c} заданы своими координатами:

vector{a} = {X1; Y1; Z1} , vector{b} = {X2; Y2; Z2} , vector{c} = {X3; Y3; Z3},


то смешанное произведение vector{a}vector{b}vector{c} определяется формулой




ЗАДАЧА 3760 Даны вершины тетраэдра A(2; 3; 1), B(4;


Даны вершины тетраэдра A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D. Смотреть решение...
Просмотры: 1575 | Статью добавил: slava191 | Категория: аналитическая_геометрия