Векторная алгебра Часть II



Скалярное произведение векторов



Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов vector{a}, vector{b} обозначается символом vector{a}vector{b} (порядок записи сомножителей безразличен, то есть vector{a}vector{b}=vector{b}vector{a}).

Если угол между векторами vector{a}, vector{b} обозначить через phi, то их скалярное произведение можно выразить формулой


vector{a}vector{b} = |vector{a}||vector{b}|cosphi (1)


Скалярное произведение векторов vector{a}, vector{b} можно выразить также формулой

vector{a}vector{b} = |vector{a}|прavector{b} или vector{a}vector{b} = |vector{b}|прbvector{a}


Из формулы (1) следует, что vector{a}vector{b} > 0, если phi - острый угол, vector{a}vector{b} < 0 , если phi - тупой угол; vector{a}vector{b}=0 в том и только в том случае, когда векторы vector{a} и vector{b} перпендикулярны (в частности, vector{a}vector{b}=0, если vector{a}=0 или vector{b}=0).

Скалярное произведение vector{a}vector{a} называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом vector{a}^2. Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:


vector{a}^2 = |vector{a}|^2


Если векторы vector{a} и vector{b} заданы своими координатами:

vector{a} = {X1; Y1; Z1}, vector{b} = {X2; Y2; Z2},


то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

vector{a}vector{b} = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.


Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 = 0.


Угол phi между векторами

vector{a} = {X1; Y1; Z1}, vector{b} = {X2; Y2; Z2},


дается формулой cosphi = vector{a}vector{b} / |vector{a}||vector{b}|, или в координатах



Проекция произвольного вектора S = {X;Y;Z} на какую-нибудь ось u определяется формулой

прuvector{S} = vector{S}vector{e}


где vector{e} - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы альфа, бета, гамма, которые оси u составляет с координатными осями, то vector{e} = {cosальфа; cosбета; cosгамма} и для вычисления вектора vector{S} может служить формула

прuvector{S} = Xcosальфа + Ycosбета + Zcosгамма



ЗАДАЧА 3758 Вычислив внутренние углы треугольника с


Вычислив внутренние углы треугольника с вершинами A(1; 2; 1), B(3; -1; 7), C(7; 4; -2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный. Смотреть решение...



Векторное произведение векторов



Векторным произведением вектора vector{a} на вектор vector{b} называется вектор, обозначаемый символом [vector{a}vector{b}] и определяемый следующими тремя условиями:

1) Модуль вектора [vector{a}vector{b}] равен |vector{a}||vector{b}|sinphi, где phi - угол между векторами vector{a} и vector{b} ;

2) Вектор [vector{a}vector{b}] перпендикулярен к каждому из вектора vector{a} и vector{b} ;

3) Направление вектора [vector{a}vector{b}] соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы vector{a}, vector{b} и [vector{a}vector{b}] приведены к общему началу, то вектор [vector{a}vector{b}] должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору vector{a}), а указательный - по второму (то есть по вектору vector{b}).


Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

[vector{a}vector{b}] = - [vector{b}vector{a}].


Модуль векторного произведения [vector{a}vector{b}] равен площади S параллелограмма, построенного на векторах vector{a} и vector{b}:

|[vector{a}vector{b}]| = S


Само векторное произведение может быть выражено формулой

[vector{a}vector{b}] = Svector{e},


где vector{e} - орт векторного произведения.

Векторное произведение [vector{a}vector{b}] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы vector{a} и vector{b} коллинеарны. В частности, [vector{a}vector{a}] = 0.

Если система координатных осей правая и векторы vector{a} и vector{b} заданы в этой системе своими координатами:


vector{a} = {X1;Y1;Z1} , vector{b} = {X2;Y2;Z2}


то векторное произведение вектора vector{a} на вектор vector{b} определяется формулой



или





ЗАДАЧА 3759 Даны точки А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5;


Даны точки А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника АВС. Смотреть решение...



Смешанное произведение трех векторов



Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись vector{a}, vector{b}, vector{c} означает, что вектор vector{a} считается первым, vector{b} - вторым, vector{c} - третьим.

Тройка некомпланарных векторов vector{a}, vector{b}, vector{c} называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы vector{a}, vector{b}, vector{c} расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.

Смешанным произведением трех векторов vector{a}, vector{b}, vector{c} называется число, равное векторному произведению [vector{a}vector{b}], умноженному скалярно на вектор vector{c}, то есть [vector{a}vector{b}]vector{c}.

Имеет место тождество [vector{a}vector{b}]vector{c} = vector{a}[vector{b}vector{c}], ввиду чего для обозначения смешанного произведения [vector{a}vector{b}]vector{c} употребляется более простой символ vector{a}vector{b}vector{c}. Таким образом,


vector{a}vector{b}vector{c} = [vector{a}vector{b}]vector{c}.


Смешанное произведение vector{a}vector{b}vector{c} равно объему параллелепипеда, построенного на векторах vector{a}, vector{b}, vector{c} взятого со знаком плюс, если тройка vector{a}vector{b}vector{c} правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы vector{a}, vector{b}, vector{c} компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение vector{a}vector{b}vector{c} равно нулю; иначе говоря, равенство

vector{a}vector{b}vector{c} = 0


есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов vector{a}, vector{b}, vector{c}.

Если векторы vector{a}, vector{b}, vector{c} заданы своими координатами:

vector{a} = {X1; Y1; Z1} , vector{b} = {X2; Y2; Z2} , vector{c} = {X3; Y3; Z3},


то смешанное произведение vector{a}vector{b}vector{c} определяется формулой




ЗАДАЧА 3760 Даны вершины тетраэдра A(2; 3; 1), B(4;


Даны вершины тетраэдра A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D. Смотреть решение...

slava191
591

Написать комментарий

Читайте также:

Некоторые теоремы о треугольнике

Теорема Чевы. Теорема Менелая. Теорема Стюарта

Как найти координаты центра тяжести треугольника?

В этой статье и разберу как нарисовать центр тяжести треугольника и найти его координаты.
Не можешь решить?
ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ
Мы ВКонтакте

б (+ б)
добавлено решений
лучших решений
добавлено задач