• Скалярное произведение векторов


• Векторное произведение векторов


• Смешанное произведение трех векторов

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов vector{a}, vector{b} обозначается символом vector{a}vector{b} (порядок записи сомножителей безразличен, то есть vector{a}vector{b}=vector{b}vector{a}).

Если угол между векторами vector{a}, vector{b} обозначить через phi, то их скалярное произведение можно выразить формулой



Скалярное произведение векторов vector{a}, vector{b} можно выразить также формулой



Из формулы (1) следует, что vector{a}vector{b} > 0, если phi - острый угол, vector{a}vector{b} < 0 , если phi - тупой угол; vector{a}vector{b}=0 в том и только в том случае, когда векторы vector{a} и vector{b} перпендикулярны (в частности, vector{a}vector{b}=0, если vector{a}=0 или vector{b}=0).

Скалярное произведение vector{a}vector{a} называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом vector{a}^2. Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:



Если векторы vector{a} и vector{b} заданы своими координатами:



то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле



Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов



Угол phi между векторами



дается формулой cosphi = vector{a}vector{b} / |vector{a}||vector{b}|, или в координатах



Проекция произвольного вектора S = {X;Y;Z} на какую-нибудь ось u определяется формулой



где vector{e} - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы альфа, бета, гамма, которые оси u составляет с координатными осями, то vector{e} = {cosальфа; cosбета; cosгамма} и для вычисления вектора vector{S} может служить формула

Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора vector{a} на вектор vector{b} называется вектор, обозначаемый символом [vector{a}vector{b}] и определяемый следующими тремя условиями:

1) Модуль вектора [vector{a}vector{b}] равен |vector{a}||vector{b}|sinphi, где phi - угол между векторами vector{a} и vector{b} ;

2) Вектор [vector{a}vector{b}] перпендикулярен к каждому из вектора vector{a} и vector{b} ;

3) Направление вектора [vector{a}vector{b}] соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы vector{a}, vector{b} и [vector{a}vector{b}] приведены к общему началу, то вектор [vector{a}vector{b}] должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору vector{a}), а указательный - по второму (то есть по вектору vector{b}).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:



Модуль векторного произведения [vector{a}vector{b}] равен площади S параллелограмма, построенного на векторах vector{a} и vector{b}:



Само векторное произведение может быть выражено формулой



где vector{e} - орт векторного произведения.

Векторное произведение [vector{a}vector{b}] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы vector{a} и vector{b} коллинеарны. В частности, [vector{a}vector{a}] = 0.

Если система координатных осей правая и векторы vector{a} и vector{b} заданы в этой системе своими координатами:



то векторное произведение вектора vector{a} на вектор vector{b} определяется формулой



или

Смешанное произведение трех векторов

Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись vector{a}, vector{b}, vector{c} означает, что вектор vector{a} считается первым, vector{b} - вторым, vector{c} - третьим.

Тройка некомпланарных векторов vector{a}, vector{b}, vector{c} называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы vector{a}, vector{b}, vector{c} расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.

Смешанным произведением трех векторов vector{a}, vector{b}, vector{c} называется число, равное векторному произведению [vector{a}vector{b}], умноженному скалярно на вектор vector{c}, то есть [vector{a}vector{b}]vector{c}.

Имеет место тождество [vector{a}vector{b}]vector{c} = vector{a}[vector{b}vector{c}], ввиду чего для обозначения смешанного произведения [vector{a}vector{b}]vector{c} употребляется более простой символ vector{a}vector{b}vector{c}. Таким образом,



Смешанное произведение vector{a}vector{b}vector{c} равно объему параллелепипеда, построенного на векторах vector{a}, vector{b}, vector{c} взятого со знаком плюс, если тройка vector{a}vector{b}vector{c} правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы vector{a}, vector{b}, vector{c} компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение vector{a}vector{b}vector{c} равно нулю; иначе говоря, равенство



есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов vector{a}, vector{b}, vector{c}.

Если векторы vector{a}, vector{b}, vector{c} заданы своими координатами:



то смешанное произведение vector{a}vector{b}vector{c} определяется формулой