Векторная алгебра Часть I
Понятие вектора. Проекции вектора
Направленные отрезки принято называть также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая - конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (рис. 1, где изображен вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться также его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.
Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором vector{a}, называется ортом вектора vector{a} и обозначается обычно символом a^(-0).
Проекцией вектора vector{AB} на ось u называется число, равное величине отрезка A1B1 оси u, где точка A1 является проекцией точки А на ось u, а B1 - проекцией точки В на эту ось.
Проекция вектора vector{AB} на ось u обозначается символом прuvector{AB}.
Проекция вектора vector{a} на ось u выражается через его модуль и угол phi наклона к оси u формулой
Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), являющиеся соответственно началом и концом вектора vector{a}, то его координаты X, Y, Z определяются по формулам X=x1-x2, Y=y2-y1, Z=z2-z1.
Формула
позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Вследствие формулы (1)
Отсюда, и из формулы (2) следует, что
ЗАДАЧА 3724 Даны точки A(3; -1; 2), B(-1; 2; 1).
Даны точки A(3; -1; 2), B(-1; 2; 1). Найти координаты векторов vector{AB} и vector{BA}. Смотреть решение...
Линейные операции над векторами



Произведение альфаvector{a} вектора vector{a} на число альфа называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора vector{a} на модуль числа альфа; он параллелен вектору vector{a} или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор vector{a} , если альфа - число положительное, и противоположно вектору vector{a} , если альфа - число отрицательное.
Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.
Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:
1) Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме ее проекций на эту же ось.
2) При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число.
В частности, если
то
и
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов
является пропорциональность их координат:
1). Вектор vector{i} лежит на оси Ох, вектор vector{j} - на оси Оу, вектор vector{k} - на оси Oz;
2). Каждый из векторов vector{i}, vector{j}, vector{k} направлен по своей оси в положительную сторону;
3). Векторы vector{i}, vector{j}, vector{k} единичные, то есть vector{i}=1, vector{j}=1, vector{k} =1 .
Каким бы ни был вектор vector{a}, он всегда может быть разложен по базису vector{i}, vector{j}, vector{k} , то есть может быть представлен в виде
vector{a} = Xvector{i} + Yvector{j} + Zvector{k}
коэффициенты этого разложения являются координатами вектора vector{a}(то есть X, Y, Z суть проекции вектора vector{a} на координатные оси).
ЗАДАЧА 3725 Векторы vector{a} и vector{b} образуют
Векторы vector{a} и vector{b} образуют угол phi=1200, причем |vector{a}|=3 и |vector{b}|=5. Определить |vector{a} + vector{b}| и |vector{a} - vector{b}|. Смотреть решение...
Просмотры: 2049 |
Статью добавил: slava191 |
Категория: аналитическая_геометрия
☰ Меню