• Понятие вектора. Проекции вектора.


• Линейные операции над векторами.

Понятие вектора. Проекции вектора

Направленные отрезки принято называть также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая - конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (рис. 1, где изображен вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться также его точкой приложения.



Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вектора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора a обозначается символом |a| или а. Если |a|=1, то вектор a называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором a, называется ортом вектора a и обозначается обычно символом a^–0.

Проекцией вектора AB на ось u называется число, равное величине отрезка A₁B₁ оси u, где точка A₁ является проекцией точки А на ось u, а B₁ – проекцией точки В на эту ось.

Проекция вектора AB на ось u обозначается символом пр_uAB.

Проекция вектора a на ось u выражается через его модуль и угол φ наклона к оси u формулой



Проекции произвольного вектора a на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z. Равенство a={X, Y, Z} означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси. Вектор, для которого X=Y=Z=0, называется нулевым и обозначается 0.

Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), являющиеся соответственно началом и концом вектора a, то его координаты X, Y, Z определяются по формулам X=x₁–x₂, Y=y₂–y₁, Z=z₂–z₁.

Формула



позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если α, β, γ – углы, которые составляет вектор a с координатными осями (см. рис. 2), то cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора a.



Вследствие формулы (1)



Отсюда, и из формулы (2) следует, что



Последнее равенство позволяет определить один из углов α, β, γ , если известны два других.

Линейные операции над векторами

Суммой a+b двух векторов a и b называется вектор, который идет из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a (правильно треугольника). Построение суммы a+b изображено на рис. 1.



Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы a и b приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма a+b есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала a и b (рис. 2). Отсюда сразу следует, что a+b = b+a.



Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов a, b , c , d ).



Разность a–b двух векторов a и b называется вектор, который в сумме с вектором b составляет вектор a. Если два вектора a и b приведены к общему началу, то разность их a–b есть вектор, идущий из конца b («вычитаемого») к концу a («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом a, то другой обозначается символом –a. Легко видеть, что a–b = a+(–b). Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

Произведение αa вектора a на число α называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора a на модуль числа α; он параллелен вектору a или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор a , если α – число положительное, и противоположно вектору a , если α – число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:

1) Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме ее проекций на эту же ось.

2) При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число.

В частности, если



то



и



Если a = {X; Y; Z}, то для любого числа α



Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов



является пропорциональность их координат:

X₂/X₁ = Y₂/Y₁ = Z₂/Z₁

Тройка векторов i, j, k называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1). Вектор i лежит на оси Ох, вектор j – на оси Оу, вектор k – на оси Oz;

2). Каждый из векторов i, j, k направлен по своей оси в положительную сторону;

3). Векторы i, j, k единичные, то есть i=1, j=1, k =1 .

Каким бы ни был вектор a, он всегда может быть разложен по базису i, j, k , то есть может быть представлен в виде

a = Xi + Yj + Zk

коэффициенты этого разложения являются координатами вектора a(то есть X, Y, Z суть проекции вектора a на координатные оси).