Дифференцирование функций

• Производная


• Геометрический смысл производной


• Механический смысл производной


• Необходимое условие существования производной


• Основные правила дифференцирования


• Таблица производных

Производная

Определение. Производной функции y=f(x) в точке x0 называется число

если этот предел существует и конечен (если предел бесконечен, то иногда говорят про бесконечную производную).

Разность Δх = x - x0 называется приращением аргумента, а Δу = f(x) - f(x0) - приращением функции. Таким образом, можно определить производную как

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции у = f(х) и проведем секущую через точки А с абсциссой x0 и В с абсциссой x0 + Δх. Если обозначить разность ординат этих точек Δу, то тангенс угла а, образованного секущей с осью Ох, можно представить так: tga = Δy/Δx.

Если Δх —> 0, точка В перемещается по кривой, приближаясь к точке А, и секущая при совпадении точек В и А превращается в касательную к графику функции, образующую с осью Ох угол a0.

При этом

Значение производной при данном значении х равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в точке с соответствующим значением х с положительным направлением оси Ох.

Механический смысл производной

Рассмотрим прямолинейное движение тела, для которого пройденное расстояние есть функция от времени: s = f(t). Среднюю скорость за время Δt можно определить по формуле: Vcp = Δs/Δt

Для определения мгновенной скорости тела в данный момент времени Δt к нулю. Получим:

Таким образом, производная от расстояния в данный момент времени равна мгновенной скорости движения в этот момент. Соответственно,

Производная любой функции при данном значении аргумента равна скорости изменения этой функции при рассматриваемом х.

Необходимое условие существования производной

Теорема. Пусть функция у = f(х) имеет в точке x0 производную f'(х0). Тогда эта функция непрерывна в точке x0

Основные правила дифференцирования

Теорема. (Производная обратной функции). Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и в точке x0 имеет конечную и отличную от 0 производную f'(x0); пусть для функции у = f(x) существует обратная функция х = f^(-1)(y), непрерывная в соответствующей точке y0=f(x0). Тогда в точке y0 эта обратная функция имеет производную, равную 1/f'(x)

Теорема о производной сложной функции. Пусть дана сложная функция z = f(g(x)). Пусть функция y = g(x) имеет производную в точке x0, а функция z = f(y) имеет производную в точке z0 = f(y0). Тогда сложная функция z = f(g(x) также имеет производную в точке z0 и z'(x0) = f'(y0)g'(x0)

Таблица производных