• Функция


• Основные способы задания функции


• Бесконечные числовые последовательности

Функция

Определение. Величину y называют функцией переменной величины x, если каждому числовому значению x, принадлежащему некоторой области его изменения D (x∈D), соответствует единственное определенное значение величины y.

Переменную величину x называют независимой переменной (или аргументом x).

Область изменения аргумента x называют областью определения функции y, а множество числовых значений функции y называют областью ее значений и обозначают E.

Тот факт, что величина y является функцией величины x, обозначают символической записью y=f(x), x ∈ D, где буква f - обозначение закона (правила), применив который к аргументу x, находят соответствующее ему значение функции y. Говорят также, что функция f отображает множество D на множество E. Область определения функции D должна быть задана. Если этого нет, то в таких случаях подразумевают так называемую естественную область определения, т.е. множество тех значений аргументаx, при которых функция y будет существовать.

Например, пусть y = log2(x-1). Из элементарной математики известно, что x-1>0 -> x>1. Это и будет естественная область определения D:x ∈ (1; +бесконечность).

Если функция f отображает множество D на множество E, а функция g отображает множество E на множество G, то можно рассматривать функцию z=g(f(x)), которую называют сложной функцией переменной z от аргумента x, или суперпозицией функций f и g. Она определена на D и отображает D на G.

Определение.
а) Функцию y=f(x) называют четной, если f(-x) = f(x).
б) Функцию у=f(x) называют нечетной, если f(-x) = -f(x) или (-f(-x)=f(x))
в) Функцию у = f(x), определенную на всей числовой оси, называют периодической, если существует такое постоянное число l, что при всяком х будет верно f(x + l) = f(x). Наименьшее из таких положительных значений l называют основным периодом T функции или просто периодом.

Основные способы задания функции

К ним относятся: табличный, описательный, графический, аналитический (явный, неявный), параметрический способы задания функций. Рассмотрим два из них.

Описательный способ

При таком способе зависимость между аргументом x и функцией у выражается словесным описанием.

Параметрический способ

При таком способе аргумент x и функция у связаны между собой через третью переменную величину - параметр t (наиболее употребительное обозначение).
system{x=φ(t); y=ψ(t)}

Бесконечные числовые последовательности

Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число Xn. Тогда говорят, что задана бесконечная числовая последовательность x1, x2, ..., Xn, ... где числа (члены последовательности) отделяются друг от друга запятыми и число Xn n=1,2,... стоит в этой строке на n-м месте. Очевидно, что последовательности можно считать функциями. Их принято называть функциями целочисленного аргумента.