Теория к заданию 12 ЕГЭ по Математике ''Наибольшее и наименьшее значение функций''

В этой статье я расскажу про алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения функции, точек минимума и максимума.

Из теории нам точно пригодится таблица производных и правила дифференцирования. Все это есть в этой табличке:



Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения.

Мне удобнее объяснять на конкретном примере. Рассмотрим:



Шаг 1. Берем производную.

y' = (x⁵+20x³–65x)' = 5x⁴ + 20·3x² – 65 = 5x⁴ + 60x² – 65

Шаг 2. Находим точки экстремума.

Точкой экстремума мы называем такие точки, в которых функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения.

Чтобы найти точки экстремума, надо приравнять производную функции к нулю (y' = 0)

5x⁴ + 60x² – 65 = 0

Теперь решаем это биквадратное уравнение и найденные корни есть наши точки экстремума.

Я решаю такие уравнения заменой t = x², тогда 5t² + 60t – 65 = 0.

Сократим уравнение на 5, получим: t² + 12t – 13 = 0

D = 12² – 4·1·(–13) = 196

t₁ = (–12 + √196)/2 = (–12 + 14)/2 = 1

t₂ = (–12 – √196)/2 = (–12 – 14)/2 = –13

Делаем обратную замену x² = t:

x_{1 и 2} = ±√1 = ±1
x_{3 и 4} = ±√–13 (исключаем, под корнем не может быть отрицательных чисел, если конечно речь не идет о комплексных числах)

Итого: x₁ = 1 и x₂ = –1 – это и есть наши точки экстремума.

Шаг 3. Определяем наибольшее и наименьшее значение.

Метод подстановки.

В условии нам был дан отрезок [–4;0]. Точка x=1 в этот отрезок не входит. Значит ее мы не рассматриваем. Но помимо точки x=–1 нам также надо рассмотреть левую и правую границу нашего отрезка, то есть точки –4 и 0. Для этого подставляем все эти три точки в исходную функцию. Заметьте исходную – это ту, которая дана в условии (y=x⁵+20x³–65x), некоторые начинают подставлять в производную...

y(–1) = (–1)⁵ + 20·(–1)³ – 65·(–1) = –1 – 20 + 65 = 44
y(0) = (0)⁵ + 20·(0)³ – 65·(0) = 0
y(–4) = (–4)⁵ + 20·(–4)³ – 65·(–4) = –1024 – 1280 + 260 = –2044

Значит наибольшее значение функции это 44 и достигается оно в точки –1, которая называется точкой максимума функции на отрезке [–4; 0].

Мы решили и получили ответ, мы молодцы, можно расслабиться. Но стоп! Вам не кажется, что считать y(-4) как-то слишком сложно? В условиях ограниченного времени лучше воспользоваться другим способом, я называю его так:

Через промежутки знакопостоянства.

Находятся эти промежутки для производной функции, то есть для нашего биквадратного уравнения.

Я делаю это следующим образом. Рисую направленный отрезок. Расставляю точки: –4, –1, 0, 1. Не смотря на то, что 1 не входит в заданный отрезок, ее все равно следует отметить для того, чтобы корректно определить промежутки знакопостоянства. Возьмем какое–нибудь число во много раз больше 1, допустим 100, мысленно подставим его в наше биквадратное уравнение 5(100)⁴ + 60(100)² – 65. Даже ничего не считая становится очевидно, что в точке 100 функция имеет знак плюс. А значит и на промежутки от 1 до 100 она имеет знак плюс. При переходе через 1 (мы идем справа налево)функция сменит знак на минус. При переходе через точку 0 функция сохранит свой знак, так как это лишь граница отрезка, а не корень уравнения. При переходе через –1 функция опять сменит знак на плюс.



Из теории мы знаем, что там, где производная функции (а мы именно для нее это и чертили) меняет знак с плюса на минус (точка -1 в нашем случае) функция достигает своего локального максимума (y(-1)=44, как была посчитано ранее) на данном отрезке (это логически очень понятно, функция перестала возрастать, так как достигла своего максимума и начала убывать).

Соответственно, там где производная функции меняет знак с минуса на плюс, достигается локальный минимум функции. Да, да, мы также нашли точку локального минимума это 1, а y(1) - это минимальное значение функции на отрезке, допустим от -1 до +∞. Обратите огромное внимание, что это лишь ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ, то есть минимум на определенном отрезке. Так как действительный (глобальный) минимум функция достигнет где-то там, в -∞.

На мой взгляд первый способ проще теоретически, а второй проще с точки зрения арифметических действий, но намного сложнее с точки зрения теории. Ведь иногда бывают случаи, когда функция не меняет знак при переходе через корень уравнения, да и вообще можно запутаться с этими локальными, глобальными максимумами и минимумами, хотя Вам так и так придется это хорошо освоить, если вы планируете поступать в технический ВУЗ (а для чего иначе сдавать профильное ЕГЭ и решать это задание). Но практика и только практика раз и навсегда научит Вас решать такие задачи. А тренироваться можете на нашем сайте. Вот здесь.

Если появились какие-то вопросы, или что-то непонятно - обязательно спросите. Я с радостью Вам отвечу, и внесу изменения, дополнения в статью. Помните мы делаем этот сайт вместе!