Максимум и минимум функции. Наибольшее и наименьшее значение функции.

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции: чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Критические точки: – внутренние точки области, в которых ее производная равна нулю или не существует.

Правила вычисления производных:


Таблица производных:


Применяя изложенный выше метод поиска наибольшего и наименьшего значений функции, будем следовать алгоритму:

  • 1) найдем производную данной функции;

  • 2) приравняем ее к нулю;

  • 3) выберем критические точки, лежащие внутри отрезка;

  • 4) найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка;

  • 5) из полученных чисел выберем наибольшее или наименьшее.



ЗАДАЧА 1578 Найти наименьшее значение функции


Найти наименьшее значение функции y=(x^2-7x+7)e^(x-5) на отрезке [4; 6].
Смотреть решение...

Признак максимума и минимума функции: если в точке х0 производная меняет знак с «+» на «-», то х0 есть точка максимума, с «-» на «+», то х0 – точка минимума.
При решении практических задач на нахождение точки максимума или минимума функции следуем такому алгоритму:

  • 1) найдем область определения данной функции;

  • 2) найдем производную данной функции;

  • 3) приравняем ее к нулю;

  • 4) найдем промежутки знакопостоянства функции;

  • 5) найдем точку максимума или минимума.



ЗАДАЧА 1579 Найдите точку максимума функции


Найдите точку максимума функции y=t^3/3 2t^2-5t-2.
Смотреть решение...