Задача 9488 Решить неравенство 27^x-9^(x+1) +...
Условие
математика 10-11 класс
5255
Решение
★
3^(x)=t; t > 0
9^(x)=t^(2);
27^(x)=t^(3).
Неравенство примет вид:
t^(3)-9t^(2) + (9t^(2)-486)/(t-6)≤81;
Переносим слагаемое в правой части влево и приводим дроби к общему знаменателю:
(t^(4)-15t^(3)+63t^(2)-81t)/(t-6)≤0
или
t(t-9)(t^(2)-6t+9)/(t-6)≤0
Решаем данное неравенство методом интервалов c учетом условия t > 0:
Нули числителя t=0;t=9; t=3.
Нули знаменателя: t=6.
Расставляем знаки:
(0) _+__ [3] _+__ (6) __-__ [9] __+___
Возвращаемся к переменной х:
6 < 3^(x)≤9 ⇒log₃6 < x≤2
О т в е т. (log₃6;2]