Задача 9276 ABCDA1B1C1D1 - правильная...

AndreyBankrashkov

23.05.2016

ABCDA1B1C1D1 - правильная четырёхугольная призма. Точки О, Р и Т- середины рёбер В1С1, AD и BC соответственно. Докажите, что угол ОТР является линейным углом двугранного угла В1ВСА.

SOVA

28.05.2016

★

Линейным углом двугранного угла называется угол между лучами, по которым плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани.

Плоскость линейного угла перпендикулярна каждой грани двугранного угла.
Плоскость угла ОТР пересекает грань ВВ₁С₁С по прямой ОТ, грань ABCD по прямой РТ.
Докажем, что плоскость ОРТ перпендикулярна грани ВВ₁С₁С и грани ABCD
В₁О=ОC₁; BT=TC.
ВВ₁||CC₁.
Значит ОТ|| ВВ₁ и ОТ || CC₁.
Так как ВВ₁⊥ВС и CC₁⊥ВС, то
ОТ⊥ВС.
Аналогично,
AP=PD; BT=TC.
AВ||DC.
Значит PТ|| AВ и PТ || DC.
Так как AВ⊥ВС и DC⊥ВС, то
PТ⊥ВС.
ОТ⊥ВС и PТ⊥ВС.
Значит ВС перпендикуляр к плоскости ОРТ.
Плоскость ВВ₁С₁С перпендикулярна плоскости ОРТ, так как плоскость ВВ₁С₁С проходит через перпендикуляр ВС к плоскости ОРТ.
Плоскость ABCD перпендикулярна плоскости ОРТ, так как плоскость ABCD проходит через перпендикуляр ВС к плоскости ОРТ.
По определению
∠ОТР- линейный угол двугранного угла.