Задача 9063 В правильной четырехугольной пирамиде...

ViktorSuknev

12.05.2016

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD боковое ребро равно 8 и наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов.
Найдите:

а) площадь боковой поверхности пирамиды;
б) объем пирамиды;
в) угол между противоположными боковыми гранями;
г) скалярное произведение векторов 1/2 (MA + MC)*ME , где E - середина DC;
д) объем описанного около пирамиды шара;
е) угол между боковым ребром AM и плоскостью DMC.

а) Т.к. пирамида является правильной, то в основании ее лежит квадрат (ABCD). Обозначим за O центр этого квадрата (точка пересечения его диагоналей). Т.к. пирамиа является правильной, то MO┴(ABC) (плоскости квадрата ABCD), все боковые ребра равны MA=MB=MC=MD=8 и образуют равные углы (равные 60 градусам) с плоскостью основания. Т.е. угол MAO=угол MBO=угол MCO=угол MDO=60 градусам. Также все апофемы пирамиды равны друг другу.
Отсюда AO=MA*cos(60 градусов)=8/2=4. Но в квадрате ABCD BO=CO=DO=AO=4.

Длину AB найдем как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника AOB (доказать, что этот треугольник является равнобедренным и прямоугольным можно, исходя из свойств квадрата: диагонали квадрата равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам).
AB=√(AO^2+OB^2)=√(4^2+4^2)=4√2.

Итак, теперь нам известны стороны треугольника MAB, являющегося боковой гранью пирамиды: MA=MB=8, AB=4√2. Площадь этого треугольника, в принципе, можно найти по формуле Герона, но мы пойдем другим путем: воспользуемся тем, что треугольник является равнобедренным с основанием AB. Проведем высоту MK. По свойству высоты равнобедренного треугольника AK=BK=AB/2=2√2.

Длину высоты MK находим как катет прямоугольного треугольника MAK, гипотенуза MA=8, а другой катет AK=2√2=√8.
MK=√(MA^2-AK^2)=√(64-8)=2√14.

Теперь площадь треугольника найдем как произведение половины основания на высоту
S=AB*MK/2=(4√2*2√14)/2=8√7.

Ответ: 8√7.

б) Объем пирамиды найдем как треть произведения площади основания на высоту. Площадь основания найдем как площадь квадрата со стороной AB=4√2. Т.е. S=(4√2)^2=32.
Высоту MO пирамиды найдем как катет прямоугольного треугольника MOA:
MO=MA*sin(угол MAO)=8*sin(60 градусов)=4√3.

Объем пирамиды
V= MO * S/3=4√3*32/3=(128√3)/3.

Ответ: =(128√3)/3.

в) Сначала разберемся, какой угол считать за угол между боковыми гранями. Для этого проведем две высоты: MK (она уже была проведена нами в пункте а) и ME - высота треугольника MCD. MK┴AB по построению. Также ME┴AB (т.к. ME┴CD и СD||AB - если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перепендикулярна и другой прямой). Поэтому если мы мысленно осуществим параллельный перенос грани MCD таким образом, чтобы точка C отобразилась в точку B, а точка D в точку A. Тогда автоматичеки точка E отобразится в точку K, а точка M - в некоторую точку M'. Тогда AB будет являться линией пересечения плоскостей MCD (точнее, M'CD) и MAB. Т.к. M'K┴AB (при параллельном переносе плоскости перпендикулярность прямых, лежащих в этой плоскости, сохраняется) и MK┴AB, то углом между плоскостями M'CD и MAB будет являться угол M'KM. Далее заметим, что M'K||ME, а MK - секущая по отношению к этим параллельным прямым. Поэтому угол M'KM=угол KME как накрест-лежащие.

Итак, задача свелась к нахождению угла KME, который будет равен углу между противоположными боковыми гранями.

KEBC - параллелограмм, т.к. KB||CE и KB=CE (KB и CE - отрезки противоположных сторон квадрата, а точки K и E - середины противоположных сторон квадрата). Поэтому KE=BC=AB=4√2. Далее ME=MK=2√14 (как апофемы пирамиды).

Угол M треугольника MKE находим исходя из теоремы косинусов (в принципе, это стандартная задача на решение треугольников по трем сторонам, поэтому приведу уже готовую формулу).
cos(угол M) = (MK^2+ME^2-KE^2)/(2*MK*ME)=1/8.

Ответ: arccos(1/8).

г) В принципе, отрезок ME мы в пункте в уже построили. Далее заметим, что векторы MA=MO+OA, MC=MO+OC. Следовательно,
MA+MC = MO+OA+MO+OC = 2*MO+OA+OC =2*MO
(т.к. векторы ОА и OC равны по длине (диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам) и противоположны по направлению, то OA+OC =0). Следовательно,
1/2 (MA + MC)*ME = MO*ME = |MO|*|ME|*cos(угол OME).
Длины |MO|=4√3, |ME|=2√14 мы нашли в предыдущих пунктах. Найдем теперь cos(угол OME), если известен cos(угол KME). Заметим, что высота MO равнобедренного треугольника KME является его биссектрисой. Поэтому угол OME = угол KME/2. Следовательно
cos(угол OME)=√((1+cos(угол KME))/2)=3/4.
(формула для косинуса половинного угла).

Таким образом,
1/2 (MA + MC)*ME =|MO|*|ME|*cos(угол OME)=4√3 * 2√14 * 3/4=6√42

Ответ: 6√42

д) Т.к. пирамида правильная, то центр описанного около нее шара ледит на прямой, проходящей через точки M и O. Обозначим этот центр буквой X. Рассмотрим сечение шара (и вписанной в него пирамиды) плоскостью MOD. Т.к. MO┴OD (по построению), то треугольник XOD прямоугольный. В этом треугольнике XD=r (радиусу шара), OD=4 (см п. а), XO=|OM-MX|=|4√3-r| (модуль здесь необходим для универсальности: возможны два варианта - либо точка O находится между M и X, либо точка X находится между M и O - данная формула справедлива для каждого из указанных случаев).

По теореме Пифагора
XD^2=XO^2+OD^2
r^2=|4√3-r|^2+4^2
r^2=r^2-8r√3+64
r=(8√3)/3.

Теперь можно найти объем шара
V=4/3 * Pi * r^3=2048 * √3 * Pi/27

Ответ: 2048 * √3 * Pi/27.

е) Выполним для начала дополнительные преобразования, в чем-то похожие на те, которые мы делали в в).
1. Осуществим параллельный перенос грани MCD на грань M'AB (естественно, мысленно) таким образом, чтобы точка D отобразилась в точку A, точка C - в точку B, а точка M - в некоторую точку M'. Приэтом точка E отобразится в точку K. Проведем перпендикуляр MS к отрезку M'K. Имеем: MK┴AB и M'K┴AB (как медианы равнобедренных треугольников (K - середина AB), являющиеся одновременно высотами. При параллельном переносе длины отрезков сохраняются, поэтому равнобедренный треугольник MCD отобразится в равнобедренный треугольник (M'AB)). Поэтому плоскость MKM' перпендикулярна отрезку AB (AB перпендикулярен двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости). Далее заметим, что плоскости MKM' и MKS совпадают, т.к. через прямую M'K (точка S принадлежит этойпрямой) и точку M, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну плоскость. Т.е. прямая MS лежит в плоскости MKM' и, следовательно, MS┴AB (т.к. плоскость MKM' перпендикулярна AB). С другой стороны, по построению MS┴M'K. Поэтому MS┴(M'AB) (перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости (M'AB)).

Т.к. плоскость (M'AB) получена параллельным переносом плоскости (MCD), то угол между AM и плоскостью (MCD) равен углу между AM и плоскостью (M'AB) и равен, по определению, углу SAM (т.к. MS - перпендикуляр к плоскости, то SA - проекция AM на плоскость).

Рассмотрим прямоугольный треугольник MSK. В нем угол S=90 градусв, MK=2√14, а угол SKM=угол M'KM=arccos(1/8) (см. п. в)).

Тогда
MS=MK*sin(угол SKM)=2√14 * √(1-(1/8)^2)=21*(√2)/4

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник MSA. В нем угол S=90 градусв, MA=8,MS=21*(√2)/4. Поэтому
угол SAM = arctg(MS/MA)=arctg(21*(√2)/32).

Ответ: arctg(21*(√2)/32).


Ответ: В решение