Задача 8889 В правильной четырехугольной пирамиде...

DedushkaFreyd

05.05.2016

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона основания равна 6, а боковое ребро-5. Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды
2) объем пирамиды
3) угол наклона боковой грани к плоскости основания
4) скалярное произведение векторов (AD+AB)AM
5) площадь описаной около пирамиды сферы
6) угол между BD и плоскостью DMC

SOVA

05.05.2016

★

1) площадь боковой поверхности пирамиды
Находим апофему МК из треугольника МКС.
DK=KC=3; MC=5.
МК=4 ( треугольник египетский)
S(бок)=4•S(Δ MDC)=4•DC•MK/2=4•6•4/2=48.

2) объем пирамиды
H=MO=√7 из прямоугольного треугольника МОК по теореме Пифагора.
МО²=МК²-ОК²=4²-3²=16-9=7.
V(пирамиды)=(1/3)S(осн.)•Н=(1/3)•6²•√7=12√7.

3) угол наклона боковой грани к плоскости основания
Это угол между апофемой МК и ее проекцией ОК:
сos ∠MKO=OK/MK=3/4;∠MKO=arccos(3/4)


4) скалярное произведение векторов (AD+AB)AM
Сумма векторов AD и AB это вектор АС.
АС- диагональ квадрата АВСD со стороной 6.
АС=6√2.
Скалярное произведение векторов AC и AM равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
сos ∠MАO=АO/АM=3√2/5, так как АО=АС/2=6√2/2=3√2.
Скалярное произведение
6√2•5•(3√2/5)=36
5) площадь описанной около пирамиды сферы
Найдем радиус сферы. Это радиус окружности, описанной около треугольника АМС.
По формуле
R=abc/4S=5•5•6√2/4•(6√2•√7/2)=25√7/2
S=4πR²=4375π.
6) угол между BD и плоскостью DMC
это угол между прямой BD и ее проекцией на плоскость DMC.
Из точки В проводим перпендикуляр к плоскости DMC.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Это ВС.
ВС⊥СD ( стороны квадрата перпендикулярны)
ВС⊥МК ( МК⊥СD).
Значит DC - проекция BD.
Угол BDC - между прямой BD и плоскостью MDC.
∠BDC=45°.