Задача 8046 В равнобедренной трапеции ABCD основания...

Julia_Trusova

23.03.2016

В равнобедренной трапеции ABCD основания ВС и AD равны 9 и 21 соответственно. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания, если площадь трапеции равна 120.

BH⊥AD; KL⊥AD(KL⊥BC), KF-расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания трапеции.
Так как трапеция равнобедренная: AC=BD.
S(ABCD)=1/2*(AD+BC)*BH
BH=S(ABCD):(1/2*(AD+BC))=120:(1/2*(9+21))=120:15=8
S(ABD)=S(ACD)=1/2*BH*AD=1/2*8*21=84
По свойству диагоналей трапеции: S(ABF)=S(DCF)
Пусть S(ABF)=S(DCF)=х, тогда S(AFD)=84-x
Так же, если FL=y, S(AFD)=1/2*FL*AD=1/2*y*21=10,5y
То есть, 84-x=10,5y
Откуда, х=84-10,5у
Если FL=y, тогда FK=8-y(KL=BH=8)
S(BFC)=1/2*FK*BC=1/2*(8-y)*9=36-4,5y
Так же S(BFC)=S(ABCD)-2*S(ABF)-S(AFD)=120-2x-10,5y
То есть, 36-4,5y=120-2x-10,5y
Тогда, 2х=120-10,5y-36+4,5у
2х=84-6у
х=42-3у
Значит, 84-10,5у=42-3у
-10,5у+3у=42-84
-7,5у=-42
у=5,6
FL=5,6, KF=8-5,6=2,4

Ответ: 2,4