Задача 77447 Найти общее решение Линейного...

65f7ecb7ba05947c7386e747

5/12/2024 5:59:28 PM

Найти общее решение Линейного неоднородного дифференциального уравнения(ЛНДУ) с правой частью специального вида

626fab9a354ab65fb2f43abb

5/12/2024 8:43:06 PM

★

y'' - 8y' + 16y = (1 - x)*e^(4x)
С однородным уравнением, надеюсь все ясно.
k^2 - 8k + 16 = (k - 4)^2 = 0
k1 = k2 = 4
y(о) = (C1*x + C2)*e^(4x)
Так как k = 4 - корень характеристического уравнения, да еще кратный,
то вид неоднородного уравнения будет такой:
y(н) = x^2*(Ax + B)*e^(4x) = (Ax^3 + Bx^2)*e^(4x)
y'(н) = (3Ax^2 + 2Bx)*e^(4x) + (Ax^3 + Bx^2)*4e^(4x) = (4Ax^3 + (3A + 4B)x^2 + 2Bx)*e^(4x)
y''(н) = (12Ax^2 + 2(3A + 4B)x + 2B)*e^(4x) + (4Ax^3 + (3A + 4B)x^2 + 2Bx)*4e^(4x)
y''(н) = (16Ax^3 + (24A + 16B)x^2 + (6A + 16B)x + 2B)*e^(4x)
Подставляем в уравнение:
(16Ax^3 + (24A + 16B)x^2 + (6A + 16B)x + 2B)*e^(4x) - 8(4Ax^3 + (3A + 4B)x^2 + 2Bx)*e^(4x) +
+ 16(Ax^3 + Bx^2)*e^(4x) = (1 - x)*e^(4x)
Сокращаем e^(4x):
16Ax^3 + (24A+16B)x^2 + (6A+16B)x + 2B-32Ax^3 - (24A+32B)x^2 - 16Bx+16Ax^3+16Bx^2 = - x + 1
Приводим подобные:
16Ax^3-32Ax^3+16Ax^3+(24A+16B)x^2 - (24A+32B)x^2 + 16Bx^2 + (6A+16B)x - 16Bx + 2B = - x + 1
Упрощаем:
0Ax^3 + 0Bx^2 + 6Ax + 0Bx + 2B = -x + 1
6Ax + 2B = -x + 1
Составляем систему:
{ 6A = -1
{ 2B = 1
Получаем:
A = -1/6
B = 1/2
y(н) = (-1/6*x^3 + 1/2*x^2)*e^(4x)
y(x) = y(о) + y(н)
y(x) = (C1*x + C2)*e^(4x) + (-1/6*x^3 + 1/2*x^2)*e^(4x)