Задача 77439 ...
Условие
(x² + 2x – 3)·log_(1+cosx)(9 + 2x – x²) ≥ 0
Решение
Область определения функции логарифма:
{ 1 + cos x > 0
{ 1+ cos x ≠ 1
{ 9 + 2x - x^2 > 0
Решаем:
{ cos x ≠ -1
{ cos x ≠ 0
{ x^2 - 2x - 9 < 0
Находим дискриминант:
D/4 = (-1)^2 - 1(-9) = 1 + 9 = 10
Находим корни:
{ x ≠ π + 2π*k ≈ 3,1416 + 6,2832*k, k ∈ Z
{ x ≠ π/2 + π*n ≈ 1,5708 + 3,1416*n, n ∈ Z
{ x1 = 1 - sqrt(10) ≈ -2,1623; x2 = 1 + sqrt(10) ≈ 4,1623
n = -1; x1 = π/2 - π = -π/2 ≈ -1,5708
n = 0; x2 = π/2 ≈ 1,5708
k = 0; x3 = π ≈ 3,1416
Получаем Область определения:
[b]x ∈ (1 - sqrt(10); -π/2) U (-π/2; π/2) U (π/2; π) U (π; 1 + sqrt(10))[/b]
Теперь решаем само неравенство.
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0.
1) x^2 + 2x - 3 = 0
(x + 3)(x - 1) = 0
x = -3 < 1 - sqrt(10) - не подходит.
[b]x = 1[/b] ∈ Области определения - подходит.
2) [m]\log_{1+\cos x} (9 + 2x - x^2) = 0[/m]
9 + 2x - x^2 = 1
x^2 - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
[b]x = -2[/b] ∈ Области определения - подходит.
[b]x = 4[/b] ∈ Области определения - подходит.
Если произведение больше 0, то множители имеют одинаковые знаки.
1)
{ x^2 + 2x - 3 > 0
{ [m]\log_{1+\cos x} (9 + 2x - x^2) > 0[/m]
Если основание логарифма 1 + cos x ∈ (0, 1), то логарифм убывающий.
То есть его значение будет > 0, если 9 + 2x - x^2 < 1
Решаем:
{ (x + 3)(x - 1) > 0
{ 1 + cos x < 1
{ 9 + 2x - x^2 < 1
Решаем дальше:
{ x ∈ (-oo; -3) U (1; +oo)
{ x ∈ (π/2 + 2π*n; 3π/2 + 2π*n), n ∈ Z
{ x^2 - 2x - 8 > 0
Получаем с учетом Области определения из 1 и 2 неравенства:
x ∈ (π/2; π) U (π; 1 + sqrt(10))
А из 3 неравенства:
(x + 2)(x - 4) > 0
x ∈ (-oo; -2) U (4; +oo)
Итого: [b]x ∈ ∅[/b], потому что решение 1 и 2 неравенств не пересекается с 3 неравенством.
2)
{ x^2 + 2x - 3 > 0
{ [m]\log_{1+\cos x} (9 + 2x - x^2) < 0[/m]
Если основание логарифма 1 + cos x > 1, то логарифм возрастающий.
То есть его значение будет > 0, если 9 + 2x - x^2 > 1
Решаем:
{ (x + 3)(x - 1) > 0
{ 1 + cos x > 1
{ 9 + 2x - x^2 > 1
Решаем дальше:
{ x ∈ (-oo; -3) U (1; +oo)
{ x ∈ (-π/2 + 2π*n; π/2 + 2π*n), n ∈ Z
{ x^2 - 2x - 8 < 0
Получаем с учетом Области определения из 1 и 2 неравенства:
x ∈ (1; π/2)
А из 3 неравенства:
(x + 2)(x - 4) < 0
x ∈ (-2; 4)
Итого: [b]x ∈ (1; π/2)[/b]
3)
{ x^2 + 2x - 3 < 0
{ [m]\log_{1+\cos x} (9 + 2x - x^2) < 0[/m]
Если основание логарифма 1 + cos x ∈ (0, 1), то логарифм убывающий.
То есть его значение будет < 0, если 9 + 2x - x^2 > 1
Решаем:
{ (x + 3)(x - 1) < 0
{ 1 + cos x < 1
{ 9 + 2x - x^2 > 1
Решаем дальше:
{ x ∈ (-3; 1)
{ x ∈ (π/2 + 2π*n; 3π/2 + 2π*n), n ∈ Z
{ x^2 - 2x - 8 < 0
Получаем с учетом Области определения из 1 и 2 неравенства:
x ∈ (1 - sqrt(10); -π/2)
А из 3 неравенства:
(x + 2)(x - 4) < 0
x ∈ (-2; 4)
Итого: [b]x ∈ (-2; -π/2)[/b]
4)
{ x^2 + 2x - 3 < 0
{ [m]\log_{1+\cos x} (9 + 2x - x^2) < 0[/m]
Если основание логарифма 1 + cos x > 1, то логарифм возрастающий.
То есть его значение будет < 0, если 9 + 2x - x^2 < 1
Решаем:
{ (x + 3)(x - 1) < 0
{ 1 + cos x > 1
{ 9 + 2x - x^2 < 1
Решаем дальше:
{ x ∈ (-3; 1)
{ x ∈ (-π/2 + 2π*n; π/2 + 2π*n), n ∈ Z
{ x^2 - 2x - 8 > 0
Получаем с учетом Области определения из 1 и 2 неравенства:
x ∈ (-π/2; 1)
А из 3 неравенства:
(x + 2)(x - 4) > 0
x ∈ (-oo; -2) U (4; +oo)
Итого: [b]x ∈ ∅[/b], потому что решение 1 и 2 неравенств не пересекается с 3 неравенством.
Решение: x ∈ {-2} U (-2; -π/2) U {1} U (1; π/2) U {4}
Ответ: x ∈ [-2; -π/2) U [1; π/2) U {4}