Задача 77437 Решить дифференциальное уравнение 6)...
Условие
6) y'' + 25y = 12cos 3x, B) y'' - y' = 3 e^x / x.
Решение
Неоднородное линейное уравнение 2 порядка.
Решаем однородное уравнение:
y'' + 25y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 25 = 0
k^2 = -25 = -5^2
k1 = -5i; k2 = 5i
y(о) = C1*cos 5x + C2*sin 5x
Решаем неоднородное уравнение. Находим частное решение в виде:
y(н) = A*cos 3x + B*sin 3x
y'(н) = -3A*sin 3x + 3B*cos 3x
y''(н) = -9A*cos 3x - 9B*sin 3x
Подставляем в уравнение:
-9A*cos 3x - 9B*sin 3x + 25A*cos 3x + 25B*sin 3x = 12cos 3x
16A*cos 3x + 16B*sin 3x = 12cos 3x
Составляем систему по коэффициентам при sin и при cos:
{ 16A = 12
{ 16B = 0
Получаем:
{ A = 3/4
{ B = 0
y(н) = 3/4*cos 3x
y(x) = y(о) + y(н) = C1*cos 5x + C2*sin 5x + 3/4*cos 3x
в) y'' - y' = 3*e^(x)/x
Неоднородное линейное уравнение 2 порядка.
Решаем однородное уравнение:
y'' - y' = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - k = 0
k1 = 0; k2 = 1
y(о) = C1 + C2*e^(x)
Правая часть нестандартная, применим метод вариации произвольных постоянных.
y(н) = Z1(x) + Z2(x)*e^(x) = Z1(x)*y1(x) + Z2(x)*y2(x)
Здесь y1(x) = 1; y2(x) = e^(x)
y1'(x) = 0; y2'(x) = e^(x)
Решаем систему двух уравнений:
{ Z1'(x)*y1(x) + Z2'(x)*y2(x) = 0
{ Z1'(x)*y1'(x) + Z2'(x)*y2'(x) = f(x)/a0
Здесь f(x) = 3*e^(x)/x - правая часть, a0 = 1 - коэффициент при y'' в исходном уравнении.
{ Z1'(x)*1 + Z2'(x)*e^(x) = 0
{ Z1'(x)*0 + Z2'(x)*e^(x) = 3*e^(x)/x
Решаем 2 уравнение:
Z2'(x)*e^(x) = 3*e^(x)/x
Z2'(x) = 3/x
Z2(x) = 3*ln |x|
Подставляем в 1 уравнение:
Z1'(x)*1 = - Z2'(x)*e^(x)
Z1'(x) = -3*e^(x)/x
[m]Z1(x) = -3 \int \frac{e^{x}}{x} dx[/m]
Этот интеграл не выражается в элементарных функциях.