Задача 77326 2. Непрерывная случайная величина X...
Условие
1. Найти значение h.
2. Задать функцию f(x) аналитически.
3. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
4. Вычислить математическое ожидание MX и дисперсию DX.
5. Вычислить вероятность P(a+b/2 <= X <= b+c/2)
Решение
По свойству плотности:
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=1[/m]
Функция задана на четырех промежутках, причем на первом и последнем функция равна 0,
[m]∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞} 0dx+∫ ^{2}_{0}f_{1}(x)dx+∫ ^{3}_{2}f_{2}(x)dx+∫ ^{+ ∞ }_{3}0dx[/m]
[m]∫ ^{2}_{0}f_{1}(x)dx+∫ ^{3}_{2}f_{2}(x)dx=1[/m]
Геометрический смысл определенного интеграла - площадь криволинейной трапеции ( выделена на рисунке красным)
S=1
Для вычисления площади трапеции применим формулу
S=(a+b)*h/2
a=1
b=3
получим h=1/2
тогда
[m]f_{1}(x)=\frac{1}{4}x[/m]
[m]f_{2}(x)=\frac{1}{2}[/m]
2)
[m]f(x)=\left\{\begin {matrix}0, x ≤0\\\frac{1}{4}x, 0<x≤2\\\frac{1}{2}, 2<x ≤3 \\0, x > 3\end {matrix}\right.[/m]
3)
По определению:
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx[/m]
[b]При x ≤0[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0[/m]
[b]При 0<x≤2[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0 dx+∫ ^{x}_{0}\frac{1}{4}xdx=\frac{1}{4}(\frac{x^2}{2})|^{x}_{0}=\frac{1}{8}x^2[/m]
[b]При 2<x≤3[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0 dx+∫ ^{2}_{0}\frac{1}{4}xdx+∫ ^{x}_{2}\frac{1}{2}dx=\frac{1}{4}(\frac{x^2}{2})|^{2}_{0}+\frac{1}{2}(x)|^{x}_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x-1=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}[/m]
[b]При x >3[/b]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0dx+∫ ^{2}_{0}\frac{1}{4}xdx+∫ ^{3}_{2}\frac{1}{2}xdx+ ∫^{x}_{3}0dx =1[/m]
Получаем:
[m]F(x)\left\{\begin {matrix}0, x ≤0\\\frac{1}{8}x^2,0<x≤2\\\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}, 2<x ≤ 3\\1, x > 3\end {matrix}\right.[/m]
4)
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞}_{- ∞} f(x)\cdot x dx[/m]
Так как функция задана на четырех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по четырем промежуткам (первый и
последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)=∫ ^{2}_{0}\frac{1}{8}x^2\cdot xdx=\frac{1}{8}∫ ^{2}_{0}x^3dx=\frac{1}{8}\cdot (\frac{x^4}{4})|^{2}_{0}=\frac{1}{2}[/m]
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2[/red]
Находим
[m]M(X^2)=∫ ^{2}_{0}\frac{1}{8}x^2\cdot x^2 dx=\frac{1}{8}∫ ^{2}_{0}x^4dx=\frac{1}{8}\cdot (\frac{x^5}{5})|^{2}_{0}=\frac{4}{5}[/m]
Тогда
[red][m]D(X)=\frac{4}{5}-(\frac{1}{2})^2=\frac{4}{5}-\frac{1}{4}=\frac{16-5}{20}=\frac{11}{20}[/m][/red]
По формуле:
[m]σ(X)=\sqrt{ D(X)}=\sqrt{\frac{11}{20}}[/m]
5)
[m]\frac{a+b}{2}=\frac{0+2}{2}=1[/m]
[m]\frac{b+c}{2}=\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}[/m]
По формуле
[r][m]P( α ≤ X ≤ β )=F( β )-F( α )[/m][/r]
[m]P( 1 ≤ X ≤ \frac{5}{2} )=F(\frac{5}{2} )-F(1 )=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\cdot 1^2=\frac{5}{8}[/m]
