Задача 77200 Площадь прямоугольника равна 400. Какими...
Условие
5 и 35
10 и 30
50 и 50
Решение
При заданной площади прямоугольника периметр будет наименьшим у квадрата. Докажем это.
У нас есть площадь прямоугольника:
S = a*b = 400
Отсюда:
b = 400/a
Периметр прямоугольника:
P = 2(a + b) = 2(a + 400/a) ⇒ min
Запишем периметр как функцию от длины прямоугольника:
P(a) = 2(a + 400/a)
Если функция в какой-то точке принимает значение экстремума (минимум или максимум), то ее производная в этой точке равна 0.
P' = 2(1 - 400/a^2) = 0
400/a^2 = 1
a^2 = 400
a = sqrt(400) = 20
b = 400/a = 400/20 = 20
То есть a = b, этот прямоугольник является квадратом.
P = 2(20 + 20) = 2*40 = 80
Ответ: 20 и 20