Задача 76980 Вычислить несобственный интеграл,...

661ff4d1756ce92446cd720c

4/18/2024 3:34:47 PM

Вычислить несобственный интеграл, установить его расходимость.


[m]\int _2^{\infty }\frac{dx}{x\ln ^2\left(x\right)}[/m]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

4/18/2024 4:29:04 PM

★

[m]d(lnx)=(lnx)`dx=\frac{1}{x}dx=\frac{dx}{x}[/m]

[m] ∫ \frac{du}{u^2}= ∫ u^{-2}du=\frac{u^{-1}}{-1}=-\frac{1}{u}[/m]

[m]u=lnx[/m]

тогда

[m] ∫^{+ ∞}_{2} \frac{dx}{xln^2x}= lim_{A →+ ∞}∫^{A}_{2}\frac{dx}{xln^2x} =lim_{A →+ ∞}∫^{A}_{2}\frac{d(lnx)}{(lnx)^2} [/m]


[m]=lim_{A →+ ∞} (-\frac{1}{lnx})|^{A}_{2}=lim_{A → + ∞}(-\frac{1}{lnA})+\frac{1}{ln2}=0+\frac{1}{ln2}=\frac{1}{ln2} [/m]