Задача 76979 Вычислить несобственный интеграл и...

661ff4d1756ce92446cd720c

4/18/2024 3:01:57 PM

Вычислить несобственный интеграл и установить его расходимость.

[m]\int_2^5\frac{dx}{\sqrt[3]{4-x^2}}[/m]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

4/19/2024 10:28:36 AM

★

[m] 4-x^2=(2-x)(2+x)[/m]

[m]\frac{1}{\sqrt[3]{4-x^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2+x}\cdot \sqrt[3]{2-x}}[/m]

На отрезке

[2;5}

[m]\sqrt[3]{2+2} ≤ \sqrt[3]{2+x} ≤ \sqrt[3]{2+5}[/m] ⇒≥ [m]\frac{1}{\sqrt[3]{7}} ≤ \frac{1}{\sqrt[3]{2+x}} ≤ \frac{1}{\sqrt[3]{4}} [/m]

значит

[m]\frac{1}{\sqrt[3]{4-x^2}} ≤ \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{2-x}} [/m]


Исследуем на сходимость

[m] ∫^{5}_{2} \frac{1}{\sqrt[3]{2-x}}dx[/m]


p=1/3

см. приложение


0 < p=1/3 < 1

интеграл сходится


Значит по признаку сравнения данный интеграл тоже сходится

626fab9a354ab65fb2f43abb

4/18/2024 6:26:35 PM

Этот интеграл не только несобственный, потому что при x = 2 знаменатель обращается в 0.
Но он еще и неберущийся, то есть интеграл от этой функции не выражается в элементарных функциях.
Чтобы его взять, скорее всего, нужно раскладывать эту функцию в ряд Тейлора или ряд Маклорена, и брать интегралы от каждого слагаемого.