Задача 76955 вычислить площадь фигуры ограниченной...
Условие
Решение
Вычислить площадь фигуры.
Смотрите рисунок. Фигура заштрихована рыжим цветом.
Сначала находим точки пересечения графиков:
1) y = 1/x и y = 2
1/x = 2
x = 1/2, y = 2
A(1/2; 2)
2) y = 1/x и y = x
1/x = x
x^2 = 1
Нас интересует только значение x > 0, поэтому:
x = 1; y = 1
B(1; 1)
3) y = x и y = 2
x = 2
C(2; 2)
Площадь складывается из двух частей, разделенных черной линией:
[m]S_1 = \int \limits_{1/2}^1 (2 - \frac{1}{x})dx = 2x - \ln |x| |_{1/2}^1 = (2 \cdot 1 - \ln 1) - (2 \cdot \frac{1}{2} - \ln \frac{1}{2}) =[/m]
[m] = 2 - 0 - 1 + \ln \frac{1}{2} = 2 - 1 - \ln 2 = 1 - \ln 2[/m]
[m]S_2 = \int \limits_1^2 (2 - x)dx = 2x - \frac{x^2}{2} |_1^2 = 2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2} - (2 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}) = 4 - 2 - 2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}[/m]
[m]S = S_1 + S_2 = 1 - \ln 2 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}- \ln 2[/m]