Задача 76871 Ответ есть (на прикреплённом фото),...

65182de6c817f053fb6ff06d

4/14/2024 3:04:34 PM

Ответ есть (на прикреплённом фото), нужно решение.

Номер 234. В прямоугольный треугольник с катетами, равными а и b, вписан прямоугольник наибольшей площади так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Найдите длины сторон прямоугольника.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

4/14/2024 6:20:45 PM

★

BC=a
АС=b
AB=sqrt(a^2+b^2)


Рассматриваем подобные прямоугольные треугольники

KNC и АВС

KN: AB=KC:AC

KC=KN*AC/AB

KC=bx/sqrt(a^2+b^2)

АК=AC-KC=b- ( bx/sqrt(a^2+b^2))

Рассматриваем подобные прямоугольные треугольники

AKL и АВС

AK:AB=KL:BC

KL=AK*BC/AB

KL=a*b(1- (x/sqrt(a^2+b^2)) : sqrt(a^2+b^2)


S=KN*KL

S(x)=x*a*b(1- (x/sqrt(a^2+b^2)) : sqrt(a^2+b^2)

S(x)=(x*sqrt(a^2+b^2)-x^2)* ab/(a^2+b^2)

Находим производную

S`(x)=(sqrt(a^2+b^2)-2x)* ab/(a^2+b^2)

S`(x)=0

sqrt(a^2+b^2)-2x=0

[b]x=sqrt(a^2+b^2)/2[/b]

[b]y=ab*sqrt(a^2+b^2)/2[/b]