Задача 76841 ...
Условие
b) y' - y/(x + 2) = x^2 + 2x, y(-1) = 3/2
Решение
Уравнение с разделяющимися переменными:
[m]y\sqrt{1-x^2}dy = -x \sqrt{1-y^2}dx[/m]
[m]\frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}} = -\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}[/m]
Берем интегралы от левой и правой части:
[m]-\int \frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}} = \int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}[/m]
Интегралы одинаковые, решаем заменой
1 - y^2 = t; dt = -2ydy; ydy = -1/2 dt
[m]-\int \frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}} = \int \frac{dt}{2\sqrt{t}} = \sqrt{t} = \sqrt{1 - y^2}[/m]
[m]\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}} = -\int \frac{dt}{2\sqrt{t}} = -\sqrt{t}+C = -\sqrt{1 - x^2} + C[/m]
Получаем:
[m]\sqrt{1 - y^2} = -\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{C}[/m]
Я бы оставил так, в неявном виде, но можно и перевести в явный вид:
[m]1 - y^2 = (-\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{C})^2[/m]
[m]1 - y^2 = 1 - x^2 - 2\sqrt{C(1 - x^2)} + C[/m]
[m]y^2 = x^2 + 2\sqrt{C(1 - x^2)} - C[/m]
Общее решение:
[m]y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{C(1 - x^2)} - C}[/m]
Решаем задачу Коши при условии: y(1) = 0
[m]\sqrt{1^2 + 2\sqrt{C(1 - 1^2)} - C} = 0[/m]
[m]\sqrt{1 + 2 \cdot 0 - C} = 0[/m]
[m]1 - C = 0[/m]
[m]C=1[/m]
Решение задачи Коши:
[m]y = \sqrt{x^2 + 2\sqrt{1 - x^2} - 1}[/m]
б) [m]y'-\frac{y}{x+2} = x^2 + 2x;\ y(-1) = \frac{3}{2}[/m]
Неоднородное уравнение 1 порядка, решается заменой:
y = uv; y' = u'v + uv'
[m]u'v + uv' -\frac{uv}{x+2} = x^2 + 2x; y(-1) = \frac{3}{2}[/m]
Выносим u за скобки:
[m]u'v + u(v' -\frac{v}{x+2}) = x^2 + 2x; y(-1) = \frac{3}{2}[/m]
Приравниваем скобку к 0:
[m]v' -\frac{v}{x+2} = 0[/m]
[m]\frac{dv}{dx} = \frac{v}{x+2}[/m]
Уравнение с разделяющимися переменными:
[m]\frac{dv}{v} = \frac{dx}{x+2}[/m]
[m]\ln |v| = \ln |x+2|[/m]
[b]v=x+2[/b]
Подставляем в наше уравнение:
[m]u'v + u(v' -\frac{v}{x+2}) = x^2 + 2x; y(-1) = \frac{3}{2}[/m]
[m]u'(x+2) + u \cdot 0 = x^2 + 2x[/m]
[m]u'(x+2) = x(x + 2)[/m]
[m]u' = x[/m]
[b]u = x^2/2 + C[/b]
Возвращаемся к функции y:
y = uv
Общее решение:
[b]y = (x+2)(x^2/2 + C)[/b]
Решаем задачу Коши при условии y(-1) = 3/2:
(-1+2)((-1)^2/2 + C) = 3/2
1(1/2 + C) = 3/2
C = 1
Решение задачи Коши:
[b]y = (x+2)(x^2/2 + 1)[/b]