Задача 76836 ...
Условие
2. a) ∑ n=1^∞ (n!)/(10^n);
б) ∑ n=1^∞ (n)/(1+n^2);
в) ∑ n=1^∞ ( (3n)/(n+2) )^n.
Решение
Если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} < 1[/m], то ряд сходится.
Если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} > 1[/m], то ряд расходится.
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{10^{n+1}} : \frac{n!}{10^{n}} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)n!}{10 \cdot 10^{n}} \cdot \frac{10^{n}}{n!} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{10} = \infty[/m]
Ряд расходится.
б) По предельному признаку сравнения:
Допустим, есть известный ряд [m] \Sigma b(n)[/m] и он сходится или расходится.
Если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n)}{b(n)} = k[/m], то есть равен какому-то конечному числу, то оба эти ряда сходятся или расходятся одновременно.
Возьмем [m]b(n) = \frac{1}{n}[/m], то есть гармонический ряд, который расходится.
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a(n)}{b(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n}{1+n^2} : \frac{1}{n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n}{1+n^2} \cdot \frac{n}{1} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{1+n^2} = 1[/m]
Так как предел равен 1, то есть конечному числу, то этот ряд расходится.
в) По признаку Коши:
Если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a(n)} < 1[/m], то ряд сходится.
Если [m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a(n)} > 1[/m], то ряд расходится.
[m]\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{3n}{n+2})^{n}} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{3n}{n+2} = 3 > 1[/m]
Ряд расходится.