Задача 76824 2. Решите уравнения: a) log^2_2 x - 4...
Условие
a) log^2_2 x - 4 log2 x + 3 = 0,
б) log3 (3^x - 8) = 2 - x,
в) x^(log3 x - 4) = 1/27.
Решение
Область определения функции логарифма:
x > 0
Замена [m]\log_2 x = y[/m]
y^2 - 4y + 3 = 0
Обыкновенное квадратное уравнение:
D = (-4)^2 - 4*1*3 = 16 - 12 = 4 = 2^2
y1 = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1
[m]\log_2 x = 1[/m]
x1 = 2^1 = 2
y2 = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3
[m]\log_2 x = 3[/m]
x2 = 2^3 = 8
Ответ: x1 = 2; x2 = 8
б) [m]\log_3(3^{x}-8) = 2-x[/m]
Область определения функции логарифма:
3^(x) - 8 > 0
[m]x > \log_3 (8)[/m]
Решаем уравнение:
[m]3^{x}-8 = 3^{2-x}[/m]
[m]3^{x} - 3^{2-x} - 8 = 0[/m]
[m]3^{x} - \frac{3^2}{3^{x}} - 8 = 0[/m]
Замена 3^(x) = y; заметим, что y > 0 при любом x
[m]y - \frac{9}{y} - 8 = 0[/m]
Умножаем всё на y:
y^2 - 9 - 8y = 0
Обыкновенное квадратное уравнение:
D = (-8)^2 - 4*1(-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2
y1 = (8 - 10)/2 = -2/2 = -1 < 0 - не подходит.
y2 = (8 + 10)/2 = 18/2 = 9 > 0 - подходит
[m]y = 3^{x} = 9[/m]
x = 2
Проверяем область определения:
[m]2 = \log_3 (9) > \log_3 (8)[/m] - подходит
Ответ: x = 2
в) [m]x^{\log_3(x)-4} = \frac{1}{27}[/m]
Область определения функции логарифма:
x > 0
[m]x^{\log_3(x)-4} = 3^{-3}[/m]
Берем логарифм по основанию 3 от левой и правой части.
[m]\log_3(x^{\log_3(x)-4}) = \log_3(3^{-3})[/m]
Воспользуемся свойством:
[m]\log_{a} (b^{c}) = c \cdot \log_{a} (b)[/m]
Получаем:
[m](\log_3(x)-4) \cdot \log_3(x) = -3[/m]
Замена: [m]\log_3(x) = y[/m]
(y - 4)*y = -3
y^2 - 4y + 3 = 0
Уравнение такое же, как в п. а)
y1 = 1
[m]\log_3(x) = 1[/m]
x1 = 3
y2 = 3
[m]\log_3(x) = 3[/m]
x2 = 3^3 = 27
Ответ: x1 = 3; x2 = 27