Задача 76754 ...
Условие
Цель: Отработать применение метода вычисления значения функции с помощью дифференциала.
Методические указания
Прдифференцирование функций производится по формуле: ∆у=f'(x)·∆х+о(∆х), где функция f'(x) является бесконечно малой функцией при стремлении аргумента ∆х к нулю. Так как ∆х→0, то ∆у=f'(x)·∆х+о(∆х). ∆х→0; ∆у=f'(x)·∆х.
В случае, что требуется вычислить производную f'(x) для бесконечно малых, то им можно пренебречь, а поэтому ∆у=dy. А так как в нахождении инфференциал заметнее проще, чем нахождение производную, то данная формула активно используется на практике.
Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:
f(x₀ + ∆x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·∆x
Пример. Вычислить значение в точке x₀=1.02 функции её интфференциалом.
Решение. Заданная функция у = arctgх. Необходимо вычислить ее значение в точке x₀=1.02. Представим данное значение в виде суммы: x₀+∆х.
Вычисли х₀ и ∆х выбирают так, чтобы значение в точке х₀ было бы точным значением. Величины х₀ и ∆х подбираются с такого расчета, чтобы ∆х был достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что х₀=1,02=1+0,02, то есть х₀=1, ∆х=0,02.
Находя значение функции у'=1/(1+х²) в точке х₀=1 y'(x₀)=1/(1+1)=0,5
Из формулы инфференциала получаем значение у(х₀+∆х):
y(x₀ + ∆x) = y(x₀) + y'(x₀)·∆x = arctg1 + (1/(1+1²))·0,02 = pi/4 + 0,5·0,02 = 0,7852 + 0,01 = 0,7952
Ответ: arctg1,02 = 0,7952.
Пример. Найти приближенное и точное значения приращения функции
y = 2x + 3 при x₀ = 2 и ∆x = 0,001.
Решение. Немец 1) f(x) = 2x + 3, а f(x₀) = f(2)=2*2 + 3=4 + 3=7, f(x₀+∆x) - f(x₀) = 2(2+0,001) + 3 – (2*2 + 3) = 2*2,001 + 3 – 7=4,002 + 3 – 7=4,002 – 4=0,002.
∆f(x₀)=2∆x=2*0,001=0,002.
Решение для dy=∆f(x₀).
dy=2*2*∆x=2*2*0,001=0,004.
Процентная ошибка для полученного значения составляет
|dy – ∆f(x₀)|/∆f(x₀) * 100% = |0,004 – 0,002|/0,002 * 100% = 0,0002/0,002 * 100% = 0,1%.
Пример. Вычислить приближенное значение корня √1,05.
Решение: √1 + ∆x ≈ √1 + ∆x/2 = √1 + 0,05/2 = 1,025.
Решение
Формула приближенных вычислений:
(х+ Δх)^(n) ≈ x^(n)+n*x^(n-1)* Δx.
Здесь х=1, Δх=0,013, n=4.
Получаем:
1,013^(4)=(1+0,013)^(4) ≈ 1^(4)+4*1^(3)*0,013=1+0,052=1,052.