Задача 76681 тема преобразование суммы и разности...
Условие
Решение
[m]tg(a) + tg(b) = \frac{\sin(a+b)}{\cos a \cdot \cos b};\ \ \ tg(a) - tg(b) = \frac{\sin(a-b)}{\cos a \cdot \cos b}[/m]
[m]ctg(a) + ctg(b) = \frac{\sin(a+b)}{\sin a \cdot \sin b};\ \ \ ctg(a) - ctg(b) = -\frac{\sin(a-b)}{\sin a \cdot \sin b}[/m]
А также формулы приведения:
75° + 15° = 90°, 25° + 65° = 90°, 85° + 5° = 90°
11° + 34° = 45°, 50° - 20° = 30°, 85° - 25° = 60°
И формулы половинных углов:
[m]\sin(\frac{a}{2}) = \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}};\ \ \ \cos(\frac{a}{2}) = \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}[/m]
[m]tg(\frac{a}{2}) = \frac{\sin a}{1 + \cos a} = \frac{1 - \cos a}{\sin a} [/m]
1) [m]tg(75°) - tg(15°) = \frac{\sin(75°-15°)}{\cos 75° \cdot \cos 15°} = \frac{\sin 60°}{\sin 15° \cdot \cos 15°} = \frac{\sin 60°}{1/2 \cdot \sin 30°} = [/m]
[m]=\frac{\sqrt{3}}{2} : (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} : (\frac{1}{4}) =\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3}[/m]
2) и 3) делаются точно также, только там сложение.
4) tg 85° + ctg 85° = tg 85° + tg 5°
Дальше опять все точно также.
5) и 6) опять тоже самое
7) [m]tg 15° + ctg 75° = tg 15° + tg 15° = 2tg 15° =[/m]
[m]= 2 \cdot \frac{1 - \cos 30}{\sin 30} =2 \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1/2} = 4(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 4 - 2\sqrt{3}[/m]
8) ctg 15° - tg 75° = ctg 15° - ctg 15° = 0