Задача 76677 y''-4y'+4y=f(x) a) f(x)=sin2x+2e^x б)...

660ee272219fc3439fa57152

4/4/2024 5:26:11 PM

y''-4y'+4y=f(x) a) f(x)=sin2x+2e^x б) f(x)=x^2-4 Определить и записать структуру частного решения у* линейного неоднородного дифференциального урав- нения по видуФункции f(х).

626fab9a354ab65fb2f43abb

4/4/2024 7:36:21 PM

★

Структура частного решения неоднородного диф. уравнения:
y'' - 4y' + 4y = f(x)
Структура решения неоднородного уравнения может зависеть от решения характеристического уравнения в однородном уравнении.
Однородное уравнение:
y'' - 4y' + 4y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 4k + 4 = 0
(k - 2)^2 = 0
k1 = k2 = 2
Решение однородного уравнения:
y(о) = e^(2x)*(C1*x + C2)

а) f(x) = sin 2x + 2e^(x)
Есть член e^(x), то есть a = 1 (коэффициент при x в показателе)
k = 1 не является корнем характеристического уравнения, поэтому:
y(н) = A*sin 2x + B*cos 2x + C*e^x

б) f(x) = x^2 - 4
k = 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому:
y(н) = Ax^2 + Bx + C