Задача 76663 задание на фото( выделил цветом)...
Условие
Решение
1) Необходимое условие экстремума.
В точке экстремума частные производные должны равняться 0.
dz/dx = 3 - 2x - y = 0
dz/dy = 6 - x - 2y = 0
Решаем систему:
{ 2x + y = 3
{ x + 2y = 6
Умножаем 2 уравнение на -2:
{ 2x + y = 3
{ -2x - 4y = -12
Складываем уравнения:
2x + y - 2x - 4y = 3 - 12
-3y = -9
y = 3
Подставляем в любое уравнение:
2x + 3 = 3
x = 0
Решение: x = 0; y = 3
z(0; 3) = 3*0 + 6*3 - 0^2 - 0*3 - 3^2 = 0 + 18 - 0 - 0 - 9 = 9
Критическая точка: M(0; 3; 9)
2) Достаточное условие экстремума.
Находим вторые частные производные:
A = d^2z/dx^2 = (3 - 2x - y)'_(x) = -2 < 0
B = d^2z/(dxdy) = (3 - 2x - y)'_(y) = -1
C = d^2z/dy^2 = (6 - x - 2y)'_(y) = -2
D = A*C - B^2 = (-2)(-2) - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 > 0
Достаточное условие экстремума:
Если D > 0 и A < 0 - это максимум.
Если D > 0 и A > 0 - это минимум.
Если D < 0 - экстремума нет, (обычно это седловая точка, но не всегда).
Если D = 0 - неизвестно, нужны дальнейшие исследования.
В нашем случае D > 0 и A < 0 - это максимум.
Ответ: M(0; 3; 9) - точка максимума.