Задача 76614 задание №8 из блока "задание на 4 и 5"...
Условие
Решение
Все решения
Делим на (1 + x^2):
[m]y'' + \frac{2x}{1+x^2} \cdot y' = \frac{7x^3}{1+x^2}[/m]
Решается понижением порядка.
y'(x) = z(x), тогда y''(x) = z'(x)
[m]z' + \frac{2x}{1+x^2} \cdot z = \frac{7x^3}{1+x^2}[/m]
Получили неоднородное уравнение 1 порядка. Решается заменой:
z = uv; z' = u'v + uv'
[m]u'v + uv' + \frac{2x}{1+x^2} \cdot uv = \frac{7x^3}{1+x^2}[/m]
Выносим за скобки u во 2 и 3 слагаемом:
[m]u'v + u(v' + \frac{2x}{1+x^2} \cdot v) = \frac{7x^3}{1+x^2}[/m]
Приравниваем скобку к 0:
[m]v' + \frac{2x}{1+x^2} \cdot v = 0[/m]
[m]\frac{dv}{dx} =- \frac{2x}{1+x^2} \cdot v[/m]
Уравнение с разделяющимися переменными:
[m]\frac{dv}{v} =- \frac{2x}{1+x^2} \cdot dx[/m]
Берем интегралы от левой и правой части:
[m]\int \frac{dv}{v} = \ln |v|[/m]
[m]\int (-\frac{2x}{1+x^2}) dx = - \int \frac{d(1+x^2)}{1+x^2} = - \ln |1+x^2| = \ln |\frac{1}{1+x^2}|[/m]
Получаем:
[m]\ln |v| = \ln |\frac{1}{1+x^2}|[/m]
[m]v=\frac{1}{1+x^2}[/m]
Подставляем в наше уравнение:
[m]u'v + u(v' + \frac{2x}{1+x^2} \cdot v) = \frac{7x^3}{1+x^2}[/m]
[m]u' \cdot \frac{1}{1+x^2} + u \cdot 0 = \frac{7x^3}{1+x^2}[/m]
Умножаем левую и правую часть на (1 + x^2):
[m]u' = 7x^3[/m]
[m]u = \frac{7x^4}{4} + \frac{C}{4} = \frac{7x^4 + C}{4}[/m]
Возвращаемся к переменной y = uv:
[m]y = \frac{7x^4+C}{4} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{7x^4+C}{4(1+x^2)}[/m]