Задача 76609 интегралы №1 и №2 из блока "задания на 4...
Условие
Решение
Все решения
Решаем методом по частям.
u = x - 3; dv = e^(2x+1) dx; du = dx; v = 1/2*e^(2x+1)
[m]\int \limits_0^2 (x-3) e^{2x+1} dx = (x-3) e^{2x+1}|_0^2 - \int \frac{1}{2} \cdot e^{2x+1} dx = (x-3) e^{2x+1}|_0^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{2x+1}|_0^2 =[/m]
[m]= (2-3)e^{4+1} - (0-3)e^{0+1} - \frac{1}{4}(e^{4+1} - e^{0+1}) = -e^5 + 3e - \frac{e^5}{4} + \frac{e}{4} = \frac{13}{4} \cdot e - \frac{5}{4} \cdot e^5[/m]
2) [m]\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2-9}}[/m]
Вынесем под корнем x^2 за скобки, а потом из-под корня:
[m]\sqrt{x^2-9} = \sqrt{x^2(1-\frac{9}{x^2}} = x\sqrt{1-\frac{9}{x^2}} = x\sqrt{1-(\frac{3}{x})^2}[/m]
Поэтому:
[m]\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2-9}} = \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{1-(\frac{3}{x})^2}}[/m]
Делаем замену:
[m]\frac{3}{x} = \sin t; t = arcsin \frac{3}{x}; \sqrt{1-(\frac{3}{x})^2} = \cos t; x = \frac{3}{\sin t}; x^2 = \frac{9}{\sin^2 t}; dx = -\frac{3\cos t}{\sin^2 t} dt[/m]
Получаем:
[m]\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2-9}} = \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{1-(\frac{3}{x})^2}} = \int \frac{\sin^2 t}{9} \cdot \frac{1}{\cos t} \cdot (-\frac{3\cos t}{\sin^2 t}) dt =[/m]
[m]= -\frac{1}{3} \int \frac{\sin^2 t}{\cos t} \cdot \frac{\cos t}{\sin^2 t} dt = -\frac{1}{3} \int 1 dt = -\frac{1}{3} \cdot t + C= -\frac{1}{3} \cdot arcsin \frac{3}{x} +C[/m]