Задача 76598 Найдите трехзначное натуральное число,...

66092e8a6433bd7709a95af0

3/31/2024 11:13:43 AM

Найдите трехзначное натуральное число, большее 500, которое при делении и на 5, и на 6 дает равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим двух крайних цифр. В ответе укажите наименьшее такое число.

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/31/2024 1:14:40 PM

★

Нам нужно найти трехзначное число 100a+10b+c с такими свойствами:
{ 100a+10b+c = 5m + k - при делении на 5 имеет ненулевой остаток k
{ 100a+10b+c = 6n + k - при делении на 6 имеет такой же остаток k
{ a + c = 2b - средняя цифра является средним арифметическим крайних
{ a >= 5 - число больше 500

Вычтем из загаданного числа остаток k и получим число, которое кратно одновременно 5 и 6, то есть кратно 30.
Заметим, что k ∈ {1; 2; 3; 4}, потому что это остаток от деления на 5.
Числа, от 500 до 1000, кратные 30:
510, 540, 570, 600, 630, ..., 990
Теперь нам нужно подобрать такую последнюю цифру от 1 до 4, чтобы выполнялось 3 условие - про среднюю цифру.
И число должно быть наименьшим, поэтому начинаем с 510.
511, 512, 513, 514 - не получается.
541, 542, 543 - ЕСТЬ!
5 + 3 = 4*2 = 8
k = 3; m = 108; n = 90
Ответ: 543