Задача 76569 Вычислить криволинейный интеграл по...

65d77dd258f8d021aead82a3

3/29/2024 5:46:34 PM

Вычислить криволинейный интеграл по координатам , где L-круг x
^2+y^2=4

5f3ea7e3faf909182968ddd9

3/30/2024 3:23:58 AM

★

Это криволинейный интеграл по длине дуги

Вводим полярные координаты

[m]x= ρ cos φ [/m]

[m]y= ρ sin φ [/m]

[m]x^2+y^2=(ρ cos φ)^2+(ρ sin φ)^2= ρ^2(cos^2 φ+sin^2 φ)= ρ^2\cdot 1= ρ^2 [/m]

Уравнение контура

[m]x^2+y^2=4 [/m] ⇒ [m] ρ ^2=4[/m] ⇒ [m] ρ =2[/m]


[m]dl=\sqrt{(x`_{ φ })^2+(y`_{ φ })^2}d φ =\sqrt{(-ρ sin φ)^2+(ρ cos φ)^2}d φ = ρ d φ [/m]


[m] ∫_{x^2+y^2 ≤4} (x^2+y^2)dl= ∫^{2π}_{0} ρ^2 \cdot ρ d φ = ρ^3 ∫^{2π}_{0}d φ = ρ ^3( φ )|^{2π}_{0}=2π\cdot ρ ^3=

[ ρ =2]=16π[/m]