Задача 76563 найти производную ...
Условие
Решение
Производную дроби [m]y(x) = \frac{f(x)}{g(x)}[/m] можно найти по формуле:
[m]y'(x) = (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2} = (f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)) : (g(x))^2[/m]
В нашем случае:
[m]f(x) = (x^2-2)\sqrt{4+x^2}; g(x) = 24x^3[/m]
Производную произведения [m]f(x) = f1(x)f2(x) [/m] можно найти по формуле:
[m]f'(x) = f1'(x) \cdot f2(x) + f1(x) \cdot f2'(x)[/m]
В нашем случае:
[m]f(x) = (x^2-2)\sqrt{4+x^2}[/m]
[m]f'(x) = 2x\sqrt{4+x^2} + \frac{(x^2-2) \cdot 2x}{2\sqrt{4+x^2}} = 2x\sqrt{4+x^2} + \frac{x(x^2-2)}{\sqrt{4+x^2}} = \frac{2x(4+x^2) + x(x^2-2)}{\sqrt{4+x^2}} =[/m]
[m]= \frac{8x+2x^3 + x^3-2x}{\sqrt{4+x^2}}= \frac{3x^3+6x}{\sqrt{4+x^2}} = \frac{3x(x^2+2)}{\sqrt{4+x^2}}[/m]
[m]g'(x) = 24 \cdot 3x^2 = 72x^2; (g'(x))^2 = 72^2x^4[/m]
Подставляем всё это в формулу производной дроби:
[m]y'(x) = (\frac{3x(x^2+2)}{\sqrt{4+x^2}} \cdot 24x^3 - (x^2-2)\sqrt{4+x^2} \cdot 72x^2) : (72^2x^4)[/m]
Можно сократить на 24x^2*3 = 72x^2:
[m] (\frac{x(x^2+2)}{\sqrt{4+x^2}} \cdot x - (x^2-2)\sqrt{4+x^2}) : (72x^2) = (\frac{x^2(x^2+2)}{\sqrt{4+x^2}} - (x^2-2)\sqrt{4+x^2}) : (72x^2) =[/m]
[m]= \frac{x^4+2x^2 - (x^2-2)(4+x^2)}{72x^2\sqrt{4+x^2}}[/m]
Можно и дальше раскрыть скобки и упростить, это вы можете сделать сами.