Задача 76528 решите интегралы на фото...
Условие
Решение
Первые два интеграла табличные, с учетом формулы:
[m]\int f(ax) dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax)[/m]
Решаем:
[m]\int e^{3x} dx = \frac{1}{3} \cdot e^{3x} = \frac{e^{3x}}{3}[/m]
[m]\int \frac{2}{9+x^2} dx = 2\int \frac{1}{9(1+x^2/9)} dx = 2\int \frac{1}{3^2(1+(x/3)^2)} dx=\frac{2}{3} \cdot arctg \frac{x}{3}[/m]
А третий надо решить.
[m]\int \frac{3}{tg^2\ 2x} dx = 3\int \frac{\cos^2 2x}{\sin^2 2x} dx = 3\int \frac{1- \sin^2 2x}{\sin^2 2x} dx = 3(\int \frac{1}{\sin^2 2x} dx - \int \frac{\sin^2 2x}{\sin^2 2x} dx) = [/m]
[m]= 3(\int \frac{1}{\sin^2 2x} dx - \int 1 dx)= -\frac{3}{2}ctg\ 2x - 3x = -\frac{3}{2}(ctg\ 2x + 2x)[/m]
Получаем:
[m]I=\frac{e^{3x}}{3} + \frac{2}{3} \cdot arctg \frac{x}{3} - (-\frac{3}{2}(ctg\ 2x + 2x)) + C = \frac{e^{3x}}{3} + \frac{2}{3} \cdot arctg \frac{x}{3} + \frac{3}{2} \cdot (ctg\ 2x + 2x) + C[/m]
2) [m]\int \frac{2x}{(x-5)(x+3)} dx[/m]
Решаем методом неопределенных коэффициентов.
Раскладываем дробь на сумму или разность дробей.
[m]\frac{2x}{(x-5)(x+3)} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+3} = \frac{A(x+3)}{(x-5)(x+3)} + \frac{B(x-5)}{(x-5)(x+3)} = \frac{Ax+3A+Bx-5B}{(x-5)(x+3)} = \frac{(A+B)x+(3A-5B)}{(x-5)(x+3)}[/m]
Получили:
[m]\frac{2x}{(x-5)(x+3)} = \frac{2x+0}{(x-5)(x+3)} = \frac{(A+B)x+(3A-5B)}{(x-5)(x+3)}[/m]
Составляем систему по коэффициентам при разных степенях x:
{ A + B = 2
{ 3A - 5B = 0
Решаем подстановкой:
{ B = 2 - A
{ 3A - 5(2 - A) = 0
3A - 10 + 5A = 0
8A = 10
A = 10/8 = 5/4
B = 2 - A = 2 - 5/4 = 3/4
Возвращаемся к интегралу:
[m]\int \frac{2x}{(x-5)(x+3)} dx = \int (\frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+3}) dx = [/m]
[m]=\frac{5}{4} \int \frac{dx}{x-5} + \frac{3}{4} \int \frac{dx}{x+3} = \frac{5}{4} \cdot \ln |x-5| + \frac{3}{4} \cdot \ln |x+3| + C[/m]
3) [m]\int \limits_1^2(x+1)e^{x}dx[/m]
Решаем методом по частям. u = x + 1; dv = e^(x) dx; du = dx; v = e^(x)
[m]\int \limits_1^2(x+1)e^{x}dx = (x+1)e^{x}|_1^2 - \int \limits_1^2 e^{x}dx = (x+1)e^{x}|_1^2 - e^{x}|_1^2=[/m]
[m]=(x+1-1)e^{x}|_1^2 = xe^{x}|_1^2 = 2e^2 - 1e^1 = 2e^2 - e[/m]