Задача 76491 Найти неопределенные интегралы: в...

65faf89010f5ae75470fa47d

3/26/2024 10:17:21 AM

Найти неопределенные интегралы: в пунктах а) и б) – методом подстановки; в пункте в) – разложением рациональной дроби на сумму простейших дробей. Есть ответы но нужно с решением ????????

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/26/2024 11:26:47 AM

★

а) [m]\int \sqrt{x+1} dx [/m]
Подстановка: x + 1 = t; dx = dt
[m]\int \sqrt{x+1} dx = \int t^{1/2} dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} + C= \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C[/m]
б) [m]\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx[/m]
Подстановка: 1 + sin x = t; dt = cos x dx
[m]\int \frac{\cos x}{1 + \sin x} dx = \int \frac{dt}{t} = \ln |t| + C = \ln |1 + sin x| + C[/m]
в) [m]\int \frac{5x+6}{(x+2)x} dx[/m]
Раскладываем дробь на сумму или разность дробей:
[m]\frac{5x+6}{(x+2)x} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x} = \frac{Ax}{(x+2)x} + \frac{B(x+2)}{x(x+2)} = \frac{Ax + Bx + 2B}{(x+2)x} = \frac{(A + B)x + 2B}{(x+2)x}[/m]
Составляем систему по степеням x:
{ A + B = 5
{ 2B = 6
Получаем:
{ B = 3
{ A = 2
[m]\frac{5x+6}{(x+2)x} = \frac{2}{x+2} + \frac{3}{x}[/m]
Подставляем в интеграл:
[m]\int \frac{5x+6}{(x+2)x} dx = \int (\frac{2}{x+2} + \frac{3}{x}) dx = 2 \cdot \ln|x+2| + 3 \cdot \ln |x| + C[/m]