Задача 76478 ...

632f635587d19127bff140f0

3/24/2024 6:58:05 PM

Четырехугольник ABCD – ромб, ∠A = α, AB = a. Расстояние от точки М до плоскости ромба также равно a, M1 – ортогональная проекция точки М на плоскость ромба – лежит на отрезке АС; M1A = 3M1C. Найдите:

1) расстояние от вершины B до плоскости (AMC);

2) угол между прямой МА и плоскостью (АВС);

3) угол между плоскостями (АМВ) и (DMC). Выполнение всех задач должно содержать рисунок, полное и обоснованное решение.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

3/25/2024 9:16:06 AM

★

1) расстояние от вершины B до плоскости (AMC)- длина отрезка ВО

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны

ВD ⊥ AC

MM_(1) ⊥ ABCD ⇒ MM_(1) ⊥ BD

BD ⊥ AC и BD ⊥ MM_(1) ⇒ BD ⊥ AMM_(1) ⇒ BD ⊥ AMC

расстояние от вершины B до плоскости (AMC)- длина отрезка ВО

BO=(1/2)BD

BD^2=a^2+a^2-2a*a*cos α
BO=(1/2)sqrt(2a^2-2a^2*cos α )=asqrt(2*(1-cos α ))=a*sqrt(4sqin^2( α /2))=[b]2a*sin( α /2)[/b]



2) угол между прямой МА и плоскостью (АВС)- угол между прямой и ее проекцией

АМ_(1)- проекция АМ на плоскость (АВС)

∠ МАМ_(1) найдем из прямоугольного треугольника АММ_(1)

AM_(1)=(3/4 )AC

AC^2=a^2+a^2-2a*a*cos ∠ B=a^2+a^2-2a*a*cos (180 °- α)

∠ A+ ∠ B=180 ° ⇒ ∠ B=(180 °- α)

cos(180 °- α) =-cos α

AC^2=a^2+a^2+2a*a*cos α

AC=2acos( α /2)

tg ∠ МАМ_(1) =MM_(1)/AM_(1)=a/((3/4)*2acos( α/2))


tg ∠ МАМ_(1) =2/(3*cos( α /2))

3) угол между плоскостями (АМВ) и (DMC).