Задача 76422 a)...
Условие
b) Найдите все корни уравнения принадлежащие промежутку [log2(500) ; log2(1000)]
Решение
Область определения для функции логарифма:
{ cos(2x) + 2^(x) - 11 > 0
{ 2^(x) - 15 - 5cos(x) > 0
Решить эти неравенства довольно трудно,
проще подставить найденные решения и проверить их.
a) Так как логарифмы равны и они по одинаковым основаниям,
то выражения под логарифмами тоже равны друг другу.
cos (2x) + 2^(x) - 11 = 2^(x) - 15 - 5cos (x)
Приводим подобные:
cos (2x) = - 5cos (x) - 4
2cos^2 (x) - 1 + 5cos (x) + 4 = 0
2cos^2 (x) + 5cos (x) + 3 = 0
Получили квадратное уравнение относительно cos (x)
D = 5^2 - 4*2*3 = 25 - 24 = 1 = 1^2
cos (x) = (-5 - 1)/4 = -6/4 < -1 - решений нет.
cos (x) = (-5 + 1)/4 = -4/4 = -1
x = π + 2π*n, n ∈ Z
Если cos (x) = -1, то cos (2x) = cos (2π + 4π*n) = 1
Проверяем область определения.
{ 1 + 2^(π + 2π*n) - 11 > 0
{ 2^(π + 2π*n) - 15 - 5(-1) > 0
Решаем:
{ 2^(π + 2π*n) > 10
{ 2^(π + 2π*n) > 10
Получаем:
При n = 0 будет 2^(π) ≈ 8,82 < 10 - не подходит.
При n = 1 будет 2^(3π) ≈ 687 > 10 - подходит.
Поэтому n ∈ Z, n ≥ 1, иначе говоря, n ∈ N.
Ответ: x = π + 2π*n, n ∈ N
b) [m]\log_2(500) = \log_2(4 \cdot 125) = \log_2 (4) + \log_2(5^3) = 2+3\log_2(5) ≈ 8,96[/m]
[m]\log_2(1000) = \log_2(8 \cdot 125) = \log_2 (8) + \log_2(5^3) = 3+3\log_2(5) ≈ 9,96[/m]
Подбираем корни, входящие в этот промежуток.
x = π + 2π = 3π ≈ 3*3,14 = 9,42 ∈ [log_2(500); log_2(1000)]
Очевидно, что это единственное решение.