Задача 76403 Найти общие решения дифференциальных...
Условие
Решение
Решаются заменой y = u*v, y' = u'*v + u*v'
а) y' - y*tg x = 0
u'*v + u*v' - uv*tg x = 0
Выносим u за скобки:
u'*v + u*(v' - v*tg x) = 0
Скобку приравниваем к 0:
v' - v*tg x = 0
dv/dx = v*tg x
dv/v = tg x dx
Уравнение с разделенными переменными. Берем интегралы:
[m]\int tg(x) dx = \int \frac{\sin(x)dx}{\cos(x)} = \int \frac{-d(\cos(x))}{\cos(x)} = -\ln|\cos(x)|[/m]
ln |v| = -ln |cos x| = ln |1/cos x|
v = 1/cos x
Подставляем в уравнение:
u'*v + u*(v' - v*tg x) = 0
u'*1/cos x + u*0 = 0
u'/cos x = 0
u' = 0
u = C
Возвращаемся к переменной y = u*v:
[b]y = C/cos x[/b]
б) y' + y/x = -x/y^2
Умножаем всё на xy^2:
y'*xy^2 + y^3 = -x^2
Делаем замену:
(u'*v + u*v')*x*u^2v^2 + u^3v^3 = -x^2
u'*u^2*v^3*x + u^3*v'*v^2*x + u^3v^3 = -x^2
Выносим за скобки u^3v^2:
u'*u^2*v^3*x + u^3v^2*(v'*x + v) = -x^2
Скобку приравниваем к 0:
v'*x + v = 0
dv/dx*x = -v
dv/v = -dx/x
ln |v| = -ln |x| = ln |1/x|
v = 1/x
Подставляем в уравнение:
u'*u^2*v^3*x + u^3v^2*(v'*x + v) = -x^2
u'*u^2*1/x^3*x + u^3v^2*0 = -x^2
u'*u^2/x^2 = -x^2
u'*u^2 = -x^4
du/dx*u^2 = -x^4
u^2 du = -x^4 dx
u^3/3 = -x^5/5 + C/15
Здесь удобно написать не С, а С/15, чтобы знаменатели были равны.
u^3 = -3x^5/5 + C/5 = (C - 3x^5)/5
[m]u = -\sqrt[3]{\frac{C - 3x^5}{5}}[/m]
Возвращаемся к переменной y = u*v:
[m]y = -\frac{1}{x} \cdot \sqrt[3]{\frac{C - 3x^5}{5}}[/m]