Задача 76377 Вычислить интегралы:...
Условие
Решение
Интеграл решается заменой:
t = 16-x^2; dt = -2x dx; x dx = -1/2 dt.
t(0) = 16 - 0 = 16; t(4) = 16 - 4^2 = 0
[m]\int \limits_0^4 x \sqrt{16-x^2}dx = \int \limits_{16}^0(-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{t}) dt = \frac{1}{2} \int \limits_0^{16} \sqrt{t} dt =\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2}|_0^{16} =[/m]
[m]= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot t^{3/2}|_0^{16} = \frac{1}{3} \cdot (16^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{1}{3} \cdot 4^3 = \frac{64}{3}[/m]
2) [m]\int \limits_0^2 (3 - 2x)e^{-3x} dx[/m]
Решаем методом по частям.
u = 3 - 2x; dv = e^(-3x) dx; du = -2dx; v = -1/3*e^(-3x)
[m]\int \limits_0^2 (3 - 2x)e^{-3x} dx = (3-2x)(-\frac{1}{3})e^{-3x}|_0^2 - \int \limits_0^2 (-2)(-\frac{1}{3})e^{-3x}dx =[/m]
[m]= -\frac{1}{3}((3-2 \cdot 2)e^{-3 \cdot 2} - (3-2 \cdot 0)e^{-3 \cdot 0}) - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}e^{-3x}|_0^2 =[/m]
[m]=-\frac{1}{3}((3-4)e^{-6} - 3e^{0}) - \frac{2}{9} (e^{-6} - e^{0}) =[/m]
[m]=-\frac{1}{3}(-e^{-6} - 3) - \frac{2}{9} (e^{-6} - 1) = \frac{1}{3} \cdot e^{-6} + \frac{1}{3} \cdot 3 - \frac{2}{9} \cdot e^{-6} + \frac{2}{9} \cdot 1 =[/m]
[m]= \frac{1}{3} \cdot e^{-6} + 1 - \frac{2}{9} \cdot e^{-6} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} \cdot e^{-6}- \frac{2}{9} \cdot e^{-6} + 1 + \frac{2}{9}=\frac{1}{9} \cdot e^{-6} + \frac{11}{9}[/m]