Задача 76376 На заданной кривой найти точку,...

6416eb6b7a17db239744cebb

3/18/2024 7:35:42 AM

На заданной кривой найти точку, касательная в которой параллельна данной прямой. Написать уравнение искомой касательной, сделать чертеж.

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/18/2024 11:53:35 AM

★

Пусть касательная к кривой y(x) имеет уравнение:
f(x) = kx + b
Коэффициент k равен значению y'(x) в точке касания.
Так как касательная f(x) параллельна прямой g(x), то коэффициенты у них одинаковые.
а) y(x) = x^2 - 5x - 7; g(x) = -3x + 2; k = -3
y'(x) = 2x - 5 = -3
2x = -3 + 5
x = 1; y = 1 - 5 - 7 = -11
Точка касания: [b](1; -11)[/b]
Но точка касания принадлежит и y(x), и касательной f(x), поэтому f(x) = y = -11. Зная k = -3, найдем b:
-11 = -3*1 + b
b = -11 + 3 = -8
Касательная:
[b]f(x) = -3x - 8[/b]
Смотрите рисунок 1.

б) y(x) = x^3 + 2; g(x) = 12x - 1; k = 12
y'(x) = 3x^2 = 12
x^2 = 4
x1 = -2; y1 = (-2)^3 + 2 = -8 + 2 = -6
x2 = 2; y2 = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10
Значит, есть две касательных, параллельных g(x).
Они имеют две точки касания: [b](-2; -6); (2; 10)[/b]
Найдем два варианта значения коэффициента b:
-6 = 12*(-2) + b1
b1 = -6 + 24 = 18
[b]f1(x) = 12x + 18[/b]
10 = 12*2 + b2
b2 = 10 - 24 = -14
[b]f2(x) = 12x - 14[/b]
Смотрите рисунок 2.
Правда, плохо видно, потому что три прямых близко друг от друга, но точки касания (-2; -6) и (2; 10) обозначены.