Задача 76312 Решите по-братски...
Условие
Решение
Смотрите рисунок 1.
AD = BC = AO = BO = CO = DO = 2; ∠ BOC = 60°; ∠ AOB = 120°
Красным я обозначил дополнительные диаметры AB и CD цилиндра.
По теореме косинусов из Δ AOB:
[m]AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot cos AOB = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot cos (120) =[/m]
[m]= 2^2 + 2^2 - 2*2*2(-\frac{1}{2}) = 4 + 4 + 4 = 12[/m]
[m]AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}[/m]
[m]AM = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}[/m]
Высоту OM Δ AOB найдем из прямоугольного треугольника AMO:
[m]OM^2 = AO^2 - AM^2 = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1[/m]
[m]OM = 1[/m]
Высота цилиндра:
[m]MN = 2OM = 2 \cdot 1 = 2[/m]
Объем цилиндра:
[m]V(ц) = \pi \cdot AM^2 \cdot MN = \pi \cdot 3 \cdot 2 = 6\pi[/m]
Объем конуса AOB:
[m]V(к) = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot AM^2 \cdot OM = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3 \cdot 1 = \pi[/m]
Объем фигуры равен объему цилиндра минус два объема конусов:
[m]V = V(ц) - 2V(к) = 6\pi - 2\pi = 4\pi[/m]
7) Объем цилиндра, вписанного в куб, равен 2π.
Значит, у цилиндра диаметр и высота равны ребру куба a.
[m]V(ц) = \pi \cdot \frac{d^2}{4} \cdot H[/m]
[m]2\pi = \pi \cdot \frac{a^2}{4} \cdot a[/m]
[m]\frac{a^3}{4} = 2[/m]
[m]a = 2[/m]
Диаметр шара, описанного около куба, равен диагонали куба.
[m]D = a \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}[/m]
[m]R = \frac{D}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}[/m]
Площадь поверхности сферы:
[m]S = 4\pi \cdot R^2 = 4\pi \cdot 3 = 12\pi[/m]
5) Смотрите рисунок 2.
Красным я обозначил плоскость сечения.
Сечение и два радиуса образуют равносторонний треугольник.
Поэтому диаметр сечения равен радиусу шара.
[m]d = R = \frac{8}{\sqrt{\pi}}[/m]
Площадь сечения есть площадь круга:
[m]S = \pi \cdot \frac{d^2}{4} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{8^2}{\pi} = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{64}{\pi}= 16 [/m]
Все решения
6) 4π
7) 12π