Задача 76268 Исследовать на непрерывность функцию...
Условие
Решение
Область определения функции:
х ≠ -1; х ≠ 3
(знаменатель дроби не должен быть равным нулю)
На (- ∞ ;-1) ; (-1;3); (3;+ ∞ ) функция непрерывна как композиция непрерывных функций
Значит, осталось исследовать непрерывность функции в точках
х=-1 и х=3
[b]х=-1[/b]Находим предел слева:
lim_(x → -1-0)f(x)=lim_(x →-1 -0)[m]\frac{2^{\frac{1}{x+1}}{3-x}=\frac{2^{\frac{1}{-1-0+1}}{3-(-1-0)}=\frac{2^{- ∞ }{4+0}=0[/m]
Находим предел справа:
lim_(x →-1 +0)f(x)=lim_(x →-1 +0)[m]\frac{2^{\frac{1}{x+1}}{3-x}=\frac{2^{\frac{1}{-1+0+1}}{3-(-1+0)}=\frac{2^{+∞ }{4-0}= ∞ [/m][/m]
Один из односторонних пределов [i]бесконечный[/i]
х=-1 - [i]точка разрыва второго рода[/i]
[b]х=3[/b]
Находим предел слева:
lim_(x →3 -0)f(x)=lim_(x →3-0)[m]\frac{2^{\frac{1}{x+1}}{3-x}=\frac{2^{\frac{1}{3-0+1}}{3-(3-0)}=+ ∞ [/m]
Находим предел справа:
lim_(x →3 +0)f(x)=lim_(x →3+0)[m]\frac{2^{\frac{1}{x+1}}{3-x}=\frac{2^{\frac{1}{3+0+1}}{3-(3+0)}=- ∞ [/m]
Оба односторонних предела [i]бесконечные[/i]
х=3 - [i]точка разрыва второго рода[/i]
2.
На (- ∞ ;-2) функция непрерывна, так как y=2/(х+2) непрерывна на (- ∞ ;-2 )
На (-2;2) функция непрерывна, так как y=-2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=1/(2x) непрерывна на (2 ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции в точках
х=-2 и х=2
Находим предел слева:
lim_(x → -2-0)f(x)=lim_(x → -0)2/(х+2)=2/(-2-0+2)=2/(-0)=- ∞
Находим предел справа:
lim_(x → 2+0)f(x)=lim_(x → 2+0)(2) =2
Левосторонний предел равен - бесконечный
х=-2 - [i]точка разрыва второго рода[/i]
x=2
Находим предел слева:
lim_(x →2 -0)f(x)=lim_(x → 2-0)(2)=2
Находим предел справа:
lim_(x →2 +0)f(x)=lim_(x → 2+0)1/(2x)=1/(2*(2+0))=1/4
х=2 - [i]точка разрыва первого рода [/i]
предел слева ≠ пределу справа , значит функция не имеет предела в точке
Но есть левосторонний предел и правосторонний предел .Они конечные.
Значит есть скачок функции и он конечный
х=2 - [i]точка разрыва первого рода [/i]