Задача 76256 Найти экстремум функции z = f (x, y). на...
Условие
Решение
Все решения
Когда мы берем производную по x, то y считается константой.
(y)'_(x) = 0
[m]\frac{∂z}{∂x} = (x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2)'_{x} = 4x^3 - 4x + 4y[/m]
Когда мы берем производную по y, то x считается константой.
(x)'_(y) = 0
[m]\frac{∂z}{∂y} = (x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2)'_{y} = 4y^3 + 4x - 4y[/m]
А если нужно найти экстремум, то сначала проверяем необходимое условие.
{ [m]\frac{∂z}{∂x} = 0[/m]
{ [m]\frac{∂z}{∂y} = 0[/m]
Получаем систему:
{ 4x^3 - 4x + 4y = 0
{ 4y^3 + 4x - 4y = 0
Делим на 4 оба уравнения:
{ x^3 - x + y = 0
{ y^3 + x - y = 0
Отделяем x^3 и y^3:
{ x^3 = x - y
{ y^3 = y - x
Получаем:
x^3 = -y^3
y = -x
Подставляем:
x^3 - x - x = 0
x^3 - 2x = 0
x(x^2 - 2) = 0
x1 = 0; y1 = 0
x2 = -sqrt(2); y2 = sqrt(2)
x3 = sqrt(2); y3 = -sqrt(2)
Теперь проверяем достаточное условие.
Находим вторые производные:
[m]A = \frac{∂^2z}{∂x^2} = (4x^3 - 4x + 4y)'_{x} = 12x^2 - 4[/m]
[m]B = \frac{∂^2z}{∂x∂y} = (4x^3 - 4x + 4y)'_{y} = 4[/m]
[m]C = \frac{∂^2z}{∂y^2} = (4y^3 + 4x - 4y)'_{y} = 12y^2 - 4[/m]
[m]D = A \cdot C - B^2 = (12x^2 - 4)(12y^2 - 4) - 4^2 = (12x^2 - 4)(12y^2 - 4) - 16[/m]
Проверяем эти выражения в найденных точках:
Если D > 0 и A < 0 - это точка максимума.
Если D > 0 и A > 0 - это точка минимума.
Если D < 0 - это не экстремум.
Если D = 0 - ничего сказать нельзя.
1) x1 = 0; y1 = 0
A = -4; B = 4; C = -4; D = (0-4)(0-4) - 16 = 0
Так как D = 0 - ничего сказать нельзя.
2) x2 = -sqrt(2); y2 = sqrt(2)
3) x3 = sqrt(2); y3 = -sqrt(2)
A = 12*2-4 = 20 > 0; B = 4; C = 12*2-4 = 20; D = 20*20 - 16 > 0
Это два точки минимума.
Но, так как эти две точки - обе минимум, то точка (0; 0) между ними - максимум.